شرح درس مساحة المثلث مبسط وع الامثلة
موضوع مساحة المثلث هو أحد المواضيع الرئيسية في مجال الرياضيات؛ حيث يتكون المثلث من ثلاثة أضلاع وثلاثة زوايا وثلاثة رؤوس تتشكل نتيجة لتقاطع الأضلاع. ومن خصائص المثلث: مجموع أطوال أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث، وتختلف أنواع المثلثات بناء على طول الأضلاع وقياس الزوايا. يطلق على المثلثات أسماء تعتمد على رؤوسها، وتختلف طريقة حساب مساحة المثلث اعتمادا على نوع المثلث، وتعد دراسة المثلث وخصائصه من أهم الدراسات في مجال الرياضيات وفقا للموسوعة.
مساحة المثلث
هناك عدة قوانين لحسابها ويختلف القانون المستخدم باختلاف المعطيات، سواء في قياس الزوايا أو طول الأضلاع، إذا عرفتها
- طول القاعدة و الارتفاع: إذا كان طول أحد أضلاع المثلث معروفا وكذلك طول الارتفاع (وهو الخط المستقيم الواقع بين منتصف الضلع المعروف الطول والزاوية المقابلة له).
مساحة المثلث = 1/2 طول القاعدة * الارتفاع
مثال: مثلث طول ضلعه 6 سم وطول ارتفاعه 7 سم أوجد مساحته.
الحل: مساحة المثلث = 0.5 × قاعدة × الارتفاع = 1/2 × 6 × 7 = 3 × 7 = 21 سم مربع.
إذا كان المثلث قائم الزاوية والبيانات هي طول ضلعي الزاوية القائمة وارتفاع المثلث، يمكن معرفة طول القاعدة باستخدام قانون فيثاغورس
مربع الوتر (قاعدة المثلث القائم) = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
مثال: إذا كانت زاوية أ ب ج قائمة وارتفاعها 4 سم وطول ضلعي الزاوية القائمة 3 سم و4 سم، فما مساحة هذا المثلث؟.
الحل: مربع طول الوتر = مربع الضلع الأول + مربع الضلع الثاني = (3)² + (4)² = 9 + 16 = 25.
طول التر = جذر 25 = 5 سم.
المساحة = 1/2 طول القاعدة × الارتفاع = 1/2 × 5 × 4 = 1/2 × 20 = 10 سم.
- طول ضلعين والزاوية المحصورة بينهما: تشير المصطلح الزاوية المحصورة إلى الزاوية التي تكونت بعد اجتماع الضلعين ذوي الأطوال المعروفة.
(مساحة المثلث = 1/2 طول الضلع الأول × طول الضلع الثاني × جا الزاوية المحصورة بينهما).
مثال: في مثلث لمن طول ضلعيه زوايا ٢٠ و٥٠ على التوالي وزاوية المعلومة بينهما ٦٠ درجة. احسب مساحته.
الحل: مساحة المثلث تساوي نصف طول ضلعه الأول مضروبا في طول ضلعه الثاني مضروبا في جيب الزاوية المحصورة بينهما.
المساحة = 1/2 × 20 × 50 × جا 60 = 866 سم مربع.
- أطوال أضلاع المثلث الثلاثة: تكون المعطيات عبارة عن أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث.
مساحة المثلث = 1/2 × محيط المثلث × (1/2 المحيط – طول الضلع الأول) × (1/2 المحيط – طول الضلع الثاني) × (1/2 المحيط – طول الضلع الثالث).
مثال: إذا كانت أطوال أضلاع المثلث ٨ سم و١٠ سم و٦ سم، فما مساحته؟.
الحل: محيط المثلث = مجموع أطوال جوانبه = 8 + 10 + 6 = 24 سم.
1/2 محيط المثلث = 24 / 2 = 12 سم.
مساحة المثلث = 1/2 × محيط × (1/2 المحيط – طول الضلع الأول) × (1/2 المحيط – طول الضلع الثاني) × (1/2 المحيط – طول الضلع الثالث).
المساحة =12 * (12 – 8) * (12-10) * (12-6) = 12 * 4 * 2 * 6 = 567 سم مربع.
- قياس زاويتين وطول ضلع: في بعض المسائل الهندسية، يكون هناك قياس لزاويتين في المثلث وطول لإحدى الأضلاع، وتطلب معرفة مساحة المثلث.
مساحة المثلث = طول الضلع المربع * جا الزاوية الأولى * جا الزاوية الثانية / 2 * جا الزاوية الثالثة.
مثال: إذا كان طول أحد الأضلاع في المثلث 6 سم وقياس الزاويتين المجاورتين 65 و 35، فلنحسب مساحة المثلث.
الحل: قياس الزاوية الثالثة = 180 – (65 + 35) = 180 – 100 = 80 درجة.
مساحة المثلث = طول الضلع المربع * جا الزاوية الأولى * جا الزاوية الثانية / 2 * جا الزاوية الثالثة.
المساحة = 12 × جا 65 × جا 35 / 2 × جا 80.
المساحة = 12 * 0.9336 * 0.5735 / 2 * 0.9848.
المساحة = 3.16 سم مربع تقريبا 3 سم مربع.
أنواع المثلثات
حسب أطوال الأضلاع
- مثلث متساوي الساقين.
- مثلث متساوي الأضلاع.
- مثلث مختلف الأضلاع.
حسب قياس الزوايا
- حاد الزوايا.
- قائم الزاوية.
- منفرج الزاوية.
خصائص المثلثات
- كل مثلث له 3 أضلاع، 3 زوايا، 3 رؤوس.
- مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة.
- طول أي ضلع في المثلث أقل من مجموع طول الضلعين الآخرين.
- يحدث تطابق المثلثات عندما تكون الزوايا متساوية والأضلاع متساوية أيضا.
- تتشابه المثلثات عندما تكون الزوايا المتناظرة أو الأضلاع المتناظرة متساوية.
- مجموع قياسي لأي زوج من الزوايا في المثلث يساوي قياس الزاوية الخارجية للمثلث.
وللتعرف بصورة أوسع على المثلثات يمكن قراءة المواضيع التالية: