شرح الأعداد المركبة

دراسة شاملة حول الأعداد المركبة .. يقوم المتخصصون في الرياضيات والعلوم الطبيعية والإنسانية عادة بتصنيف الأعداد إلى مجموعات متداخلة. على سبيل المثال، هناك مجموعة الأعداد الطبيعية والأعداد النسبية والأعداد المركبة وغيرها. سنتحدث في هذا المقال عن الأعداد المركبة التي تلعب دورا هاما وتحتل مكانة كبيرة في الرياضيات، وذلك بسبب دورها الفعال في التطبيقات العلمية المختلفة. وتعتبر مجموعة الأعداد المركبة من أصعب المجموعات في الفهم بسبب تضمنها لأعداد خيالية، وهذا يسبب صعوبة في الفهم. وتعود أهمية الأعداد المركبة إلى دورها في التطبيقات الحياتية المختلفة مثل الكهرباء والفيزياء والديناميكا وغيرها من العلوم .

غالبا ما يتساءل الناس عن وجود الأعداد المركبة في الطبيعة ومكان وجود الأعداد الطبيعية في العالم المحيط بنا. وهذه أسئلة تثير اهتمامنا، ولكن البعض يخلط بين وجود الأعداد الطبيعية في الواقع وبين العلوم الطبيعية أو العلوم الإنسانية مع الرياضيات. فالعلوم الطبيعية والإنسانية مرتبطة بالواقع وتصبح غير صحيحة إذا خالفت الحقائق المحيطة بها مثل الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا. ونجد أيضا ارتباط العلوم الإنسانية مثل الجغرافيا والتاريخ وعلم النفس والاجتماع بالحقائق والواقع الملموس الذي نعيشه. ومع ذلك، الرياضيات تعتبر عكس ذلك، حيث ترتبط فقط بما يمكن أن يتخيله العقل، سواء كان حقيقيا أم غير حقيقيا. والأعداد المركبة هي ببساطة ما يمكن للعقل البشري أن يتخيله، ولذلك، وجود الأعداد المركبة أصبح أمرا ضروريا .

تعريف الأعداد المركبة

الأعداد المركبة هي الأعداد التي تكتب على شكل (a+bi)، حيث a و b هما أعداد حقيقية، بينما i هو عدد متخيل يمكن أن يكون جذر تربيعي للعدد 1

ويقسم العدد المركب إلى جزأين : الجزء الأول من العدد يكون حقيقيا مثل a، والجزء الثاني يكون وهميا مثل b، ويمكننا أن نفسر ذلك على النحو التالي، أي أن كل عدد حقيقي هو عدد مركب ولكن الجزء الوهمي منه يكون يساوي الصفر. وفي هذه الحالة، يمكننا أن نعتبر العدد المركب عددا حقيقيا فقط. وإذا كان الجزء الحقيقي من العدد يساوي الصفر، فيمكننا أن نسميه عددا وهميا فقط. ويمكننا أن نعبر ونشير إلى مجموعة الأعداد المركبة باستخدام الرمز c.

خصائص الأعداد المركبة:

• عندما يكون لديك عدد مركب، فإن له عدد مرافق له. إذا، مرافق العدد المركب هو عدد مركب يحتوي على نفس الجزء الحقيقي كالعدد الأصلي، ولكن الجزء الوهمي قد يكون متساويا أو مختلفا عن العدد الأصلي في القيمة والإشارة .
• مثال ذلك /3+2i=x     العدد الأصلي
  • /3-2i=x العدد المرافق
• من خلال الأعداد المركبة، يمكننا تنفيذ العديد من العمليات الحسابية مثل الجمع والطرح وكذلك القسمة والضرب، ويمكننا أيضا إيجاد العدد المعكوس لكل عدد مركب .
• هناك العديد من الصيغ التي يمكن كتابة الأعداد المركبة بها، فيمكن كتابتها باستخدام النظام الثنائي أو باستخدام الصيغة الأسية .

أهمية الأعداد المركبة:

الأعداد المركبة ذات أهمية كبيرة في حياتنا اليومية، فهي تساعدنا كثيرا في القيام بالعمليات الحسابية وتوفر لنا نظاما لإيجاد حلول للمعادلات الرياضية التي قد لا تكون لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، 2 = -9(c+1). ولذلك، فإننا نجد استخدام الأعداد المركبة في العديد من التطبيقات التي نستخدمها في حياتنا اليومية. ومن بين أهم استخدامات الأعداد المركبة أيضا هو استخدامها في مجال الهندسة الكهربائية، مثل حساب قيمة الجهد الكهربائي وقياس التيار الكهربائي المتردد. وهذه الأعداد المركبة تختلف عن تلك الموجودة في الدوائر الكهربائية ذات التيار الثابت. كما يتم استخدام الأعداد المركبة أيضا للتعبير عن الحركة المتغيرة والمتعددة الأبعاد لحساب القيم في الدوائر الكهربائية ذات التيار المتردد .

لا يقتصر استخدام الأعداد المركبة على المجالات الرياضية فقط، بل تستخدم أيضا في معالجة الإشارات. لذلك، نجد أن لها دورا فعالا في مجال تكنولوجيا الهاتف والاتصال اللاسلكي وغيرها من الاستخدامات المختلفة، وذلك لأن الأعداد المركبة تقدم حلا للعديد من أنواع المعادلات التي لا تقبل أي حلول، وخاصة في مجموعة الأعداد الحقيقية .

تمثيل الأعداد المركبة :

إذا كان X هو عدد مركب، و a و b عددين حقيقيين و i هو العدد التخيلي، فإن التمثيل الجبري للعدد المركب هو كما يلي

a+bi=x.