قانون الإنحراف المعياري وكيفية حسابه
الإنحراف المعياري هو القانون المستخدم بكثرة في الإحصاء. ويستخدم لقياس التشتت الإحصائي. وهو واحد من أدق وأوضح قوانين التشتت. وذلك لأنه يتطلب إدخال جميع القيم التي يتم حساب مدى تشتتها. ولا يتطلب قيمتين أو أكثر. ويتم العمل على حسابها. وهنا تتجلى قوة الإنحراف المعياري عن غيره من مقاييس التشتت. ويرمز إلى الإنحراف المعياري بالرمز الإغريقي (سيجما). ويتأثر الإنحراف المعياري بعدة عوامل، منها القيم المتطرفة أو المتباعدة. ويرتبط أيضا بالمتوسط الحسابي للقيم. ولكنه لا يتأثر بالتغيرات الحديثة في العينة. والإنحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين. وهو واحد من المقاييس الرئيسية المستخدمة من قبل مديري المحافظ والمخططين الماليين ومستشاري إدارة الثروات والمحللين في قطاع الخدمات المالية. ويعتبر الإنحراف المعياري في أبسط صوره متوسط مجموع النقاط أو العينات داخل مجموعة معينة. ويساعد الإنحراف المعياري المتخصصين على تحديد ما إذا كانت البيانات تحتوي على علاقة رياضية أم لا، مثل المنحنيات وغيرها. ومن أهم استخدامات الإنحراف المعياري هو استخدامه بشكل واسع في عمليات الاستثمار والتجارة الكبيرة.
الإنحراف المعياري :
قانون الإنحراف المعياري بالعربي :
الإنحراف المعياري = الجذر التربيعي للتباين.
معنى التباين هو (جمع مربعات اختلاف القيم عن القيمة المتوسطة) مقسوما على (عدد القيم – 1).
بالتالي، يعتمد على التباين ولكي يتم شرح القانون بشكل أكثر وضوحا، دعونا نتطرق إلى كيفية قياس الانحراف المعياري.
قياس الإنحراف المعياري :
لكي تتم عملية حساب أو قياسه يجب متابعة هذه الخطوات:
- العثور على القيم التي نحن بحاجة لحسابها المعياري.
- قمنا بجمع جميع القيم العددية وقسمناها على عددها لإيجاد المتوسط الحسابي.
- يتم تربيع الانحراف لكل قيمة من القيم الموجودة بشكل منفصل، ثم نجمع هذه المربعات.
- نحن نحسب الانحراف المعياري عن طريق جذر المتوسط التربيعي للمجموعة ÷ (عدد القيم – 1).
حساب الإنحراف المعياري بالآلة الحاسبة :
لحسابه باستخدام الآلة الحاسبة، يجب اتباع الخطوات السابقة في عملية القياس، ولكن بدلا من الجمع والقسمة، سنستخدم الآلة الحاسبة لتسهيل عملية إيجاد النتيجة، ويتضح ذلك في هذا المثال:
إذا كان هناك بعض القيم (2، 3، 4، 5، 6، 7، 8)، ونرغب في حساب الانحراف المعياري باستخدام الحاسبة، نقوم بــ
أولا، نجمع القيم السابقة ونقسمها على عددها للحصول على المتوسط
المتوسط الحسابي للأرقام = (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) مقسومة على 7
= (35 ) ÷ 7 = 5
ثانيا، يجب توضيح انحراف جميع القيم عن المتوسط وتربيعها كما يلي
القيمة 2 وانحراف القيمة عن المتوسط 5 -2 = 3 وقم بتربيعها 9
القيمة الثالثة والانحراف عن المتوسط تساوي 5 – 3 = 2 وتربيعها يساوي 4
تساوي 4 وهو انحراف القيمة عن المتوسط 5-4 = 1 وقم بتربيعها
القيمة 5 وانحرافها عن المتوسط 5 – 5 = 0 وتربيعها 0
قيمة الرقم 6 والانحراف عن المتوسط 6-5 = 1 وتربيعها 1
القيمة هي 7 وانحراف القيمة عن المتوسط هو 7 – 5 = 2 وتربيعها 4
قيمة 8 وانحرافها عن المتوسط 8- 5 =3 وتربيعها 9
ثم نقوم بجمع القيم السابقة (9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9) = 28.
رابعًا نطبق قانون الإنحراف المعياري وهو
= (مجموع أربعة أضعاف اختلاف القيم عن المتوسط) ÷ (عدد القيم – 1)
= جذر تربيعي (28) مقسوم على (7 – 1) يساوي 4.6666
= باستخدام الحاسبة، ستكون الجذر التربيعي للقيمة السابقة 2.16 .
الإنحراف المعياري للبيانات المبوبة :
أولا قبل معرفة قانون حسابه في حالات البيانات المبوبة يجب معرفة قانون التباين وهو
أما قانون الإنحراف المعياري هو
حيث أن الرمز f هو عدد التكرارات، والرمز x هو عدد الفئات.
هل يوجد إنحراف معياري للقيم المتشابهة ؟
لا يوجد انحراف معياري للقيم المتشابهة وذلك لأنه يوضح مدى التشتت بين القيم وبعضها البعض، ولتوضيح ذلك قرأنا المثال التالي:
مثال:
إذا كان هناك أربع قيم ولنقل تعبر عن درجات طلاب في مدرسة مثلا وهذه القيم متساوية وهي ( 5، 5، 5، 5، ).
المتوسط الحسابي = (5 + 5 + 5 + 5 ) ÷ 4
= 20 ÷ 4 = 5
القيمة هي 5 وانحراف القيمة عن المتوسط هو 0 وتربيعها هو 0
القيمة 5 وانحراف القيمة عن المتوسط = 5 – 5 = 0 وتربيعها 0
القيمة هي 5 وانحرافها عن المتوسط هو 0 وتربيعها هو 0
القيمة 5 والانحراف عن المتوسط 5-5 = 0 وتربيعها 0
مجموع المربعات = (0 + 0 + 0 + 0) = صفر
إذا الانحراف المعياري يساوي جذر التربيع للصفر ويساوي صفر
ويتضح من هذا المثال عدم وجود انحراف معياري للقيم المتشابهة.
المراجع :