شرح قانون الفرق بين مربعين

يتميز المربع بأن جميع أطوال أضلاعه متساوية ويتم حساب مساحته بضرب الضلع في نفسه. إذا أردنا حساب الفرق بين مساحتين مربعتين، نحتاج إلى تطبيق قانون الفرق بين مربعين وهنا يأتي السؤال عن تعريف هذا القانون وخطوات الحل. سنتعرف على ذلك من خلال المقال التالي على موسوعة، وسنقدم العديد من الأمثلة التي تسهل علينا خطوات الحل .

مفهوم الفرق بين مربعين :

بالمقصود من مربع هو ضرب أي عدد في نفسه، وهذا هو نفس المعنى المقصود في قانون مساحة المربع، حيث تتمثل المساحة في ضرب طول الضلع في نفسه. ومن خلال جدول الضرب، نعلم أن مربع العدد 1 يساوي (1)، ومربع العدد 2 هو (4)، ومربع العدد 3 هو (9)، والعدد 4 هو (16)، ومربع العدد 5 هو (25)، ومربع العدد 6 هو (36)، وهكذا عن طريق ضرب العدد في نفسه أو تربيعه.

عندما نأتي بمربعين ويكون هناك اختلاف بينهما، يكون الفرق في مساحة المربع الأول والمربع الثاني هو الفرق بين المربعين .

شرح قانون الفرق بين مربعين :

يمكننا التفرقة بين مربعين بسهولة عن طريق استخدام القانون التالي:

الفرق بين مربعين = (جمع الجذر التربيعي للمربعين) × (الفرق بين الجذر التربيعي للمربعين).

أو بصورة أخرى :

س² – ص² = (س + ص) × (س – ص)

خطوات تحليل الفرق بين مربعين :

لتحليل الفرق بين مربعين لعواملهما، يجب أولا التأكد من أن المقدار على شكل الصورة العامة وهي: س² – ص²، ويجب التأكد من أن الإشارة بين المقدارين سالبة، ثم يمكننا التحليل من خلال الخطوات التالية:

1. اولا : نقوم بفتح قوسين لوجود علاقة ضرب بين المقدارين ويكونان بهذا الشكل ( ) ( ) .
2. ثانيا : نضع علامة موجبة في القوسين الأولى، ونضع علامة سالبة في القوس الثانية، بذلك الشكل ( + ) ( – ) .
3. ثالثا : الآن سنقوم بكتابة جذر الحد الأول في كل من القوسين، وسيكون على النحو التالي (س+) (س-) .
4. رابعا : ثم قم بكتابة جذر العدد الثاني في كلا القوسين بعد العلامة، كالشكل التالي (س + ص) (س – ص) .
5. خامسا : وبهذه الطريقة يتم إنتاج الصورة العامة لقانون تحليل الفروق بين مربعين، ويكون في الشكل التالي:

س² – ص²= (س + ص) ( س – ص )

حيث أن :

س²: هو مربع الحد الأول .

ص²: هو مربع الحد الثاني .

س : الجذر التربيعي للحد الأول .

ص : الجذر التربيعي للحد الثانبي .

و بصورة أخرى :

(مربع الحد الأول – مربع الحد الثاني) = (الحد الأول + الحد الثاني) (الحد الأول – الحد الثاني) .

أمثلة لتطبيق قانون الفرق بين مربعين :

مثال 1 :

قم بتحليل المقدار التالي إلى أعوامله الأولية (4 – 9)

الحل :

قبل أن نبدأ في خطوات الحل نتأكد أن المقدار على شكل الصورة العامة (س² – ص²) وأن الإشارة بين الحدين سالبة مما يعني:

2 هو الجذر التربيعي للعدد 4، و3 هو الجذر التربيعي للعدد 9، لذلك قيمة التعبير (²2 – ²3) وبعد ذلك نتبع الخطوات التالية في الحل

• نقوم بفتح قوسين ( ) ( ) .
• نضع إشارة موجبة في القوس الأول، ونضع إشارة سالبة في القوس الثاني (+ -) .
• ثم نكتب الجذر التربيعي لأول حد وهو 2 في كلا القوسين، (2 – ) (2 + ) .
• ثم نقوم بكتابة الجذر التربيعي للحد الثاني في كل من الأقواس بعد العلامة، كما يلي: ( 2 – 3 ) ( 2 + 3 ) .

مما يعني أن تحليل المقدار (²2 – ²3) = (٢ – ٣) (٢ + ٣) .

مثال 2 :

قم بتحليل المقدار الجبري التالي : ( ص² – 25) إلى عوامل الأولية .

الحل :

أول خطوات الحل هي التأكد من أن الكمية مكونة من الشكل العام (س² – ص²) وأن الإشارة بين الحدين سالبة، مما يعني:

الجذر التربيعي لـ (ص²) = ص، حيث أن ص × ص = ص²، كما أن الجذر التربيعي لـ 25 = 5 والإشارة بين الحدين سالبة، إذا نطبق خطوات الحل:

• نقوم بفتح قوسين ( ) ( ) .
• نضع إشارة موجبة في القوس الأول، ونضع إشارة سالبة في القوس الثاني (+ -) .
• ثم نكتب الجذر التربيعي لأول حد وهو ص في القوسين (ص – ) (ص + ) .
• ثم نكتب الجذر الثاني للعدد 5 في كل من الأقواس بعد العلامة، كالتالي: (ص – 5) (ص + 5) .

و الان الصورة النهاية للتحليل هي : ( ص² – 25 ) = ( ص² – ²5 ) = ( ص – 5 ) ( ص + 5 ) .

مثال 3 :

قم بتحليل المقدار الجبري التالي : ( 49 – ع² ) إلى عوامل الأولية .

الحل : 

كما قمنا به في السابق، نتأكد من أن القيمة هي عبارة عن الصورة العامة (س² – ص²) وأن الإشارة بين الحدين هي إشارة سالبة، ونقوم بحساب الجذر التربيعي لكل من الحدين

الجذر التربيعي للعدد (49) = 7، حيث أن 7 × 7 = 49، وأيضا الجذر التربيعي لع² = ع مع الإشارة بين الحدين سالبة، والآن سنقوم بتطبيق خطوات الحل:

• أولا نقوم بفتح قوسين ( ) ( ) .
• ثم نضع علامة موجبة في القوسين الأولين، ونضع علامة سالبة في القوس الثاني ( – ) ( + ) .
• ونكتب الجذر التربيعي لأول حد وهو 7 في كلا القوسين، (7 – ) (7 + ) .
• و بعد ذلك نكتب الجذر لثاني حد و هو 5 في كلا القوسين بعد الاشارة، كالتالي : ( ص – 5 ) ( ص + 5 ) .

و الان الصورة النهاية للتحليل هي : (49 – ع²) = (49 – ع²) = (7 – ع) (7 + ع) .