شرح معادلة الكرة

توضيح معادلة الكرة بطريقة سهلة ، واحدة من الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد المعروفة للجميع، والتي تمثل شكل الأرض، وهي الكرة، سنشرح معا مفهوم الكرة ومعادلتها والشكل العام للقانون، بالإضافة إلى العديد من الأمثلة التي تساعدنا في التفهم، في المقال التالي على موقع الموسوعة .

شرح معادلة الكرة (Sphere) :

محل هندسي على الفضاء ثلاثي الأبعاد، حيث تتحرك نقطة عبره وتكون على بعد ثابت من مركز الكرة، وتسمى هذه المسافة الثابتة بالقطر (نق2)، والمسافة بين أي نقطتين على الكرة ومركزها تسمى نصف القطر (نق)، ويمثل مقطع الكرة دائرة، والكرة التي نصف قطرها واحد يسمى كرة الوحدة .

وحتى يمكن تسمية هذا المحل الهندسي بمسمى الكرة، يجب أن يستوفي معادلة الكرة .

الشكل العام لمعادلة الكرة :

الصورة العامة للكرة هي (0، 0، 0) ونصف قطرها نق، والنقاط (س، ص، ع) هي ثلاثة محاور في المستوى الثلاثي الأبعاد، وتكون على النحو التالي

س² + ص² + ع² = نق2

ومع ذلك، تختلف صورة المعادلة الدائرية إذا كانت نقاط (أ، ب، ج) هي مركز الكرة ونصف القطر هو نق، وإذا كانت نقاط (س، ص، ع) تمثل ثلاثة محاور في الفضاء ثلاثي الأبعاد، كما هو موضح في الشكل التالي:

(س-أ)² + (ص-ب)² + (ع-ج)² = نق2

مما يعني ان المعادلة عند فكها تكون على الشكل التالي : س² + ص² + ع² + 2أ س + 2 ب ص + 2 ج ع + د = 0

أمثلة لحساب معادلة الكرة :

مثال 1 :

اعتمد معادلة الكرة التي مركزها هو (2، 1، 1) ولها نصف قطر يساوي 5 سم

الحل : 

أولا نقوم بكتابة المعادلة العامة للدائرة وهي كالتالي:

نق2 = س² + ص² + ع²

و بعد ذلك نقوم بالتعويض بالمعطيات في المعادلة كالاتي :

٢ × ٥ = (س – ٢)² + (ص – ١)² + (ع – ١)²

إذا المعادلة هي : 25 = ( س – 2)² + ( ص -1 )²  + ( ع – 1)²

مثال 2 : 

إذا افترضنا أن مركز الكرة هو ( 6 ، 3 ، 2 ) ولها نصف قطر يساوي 4 سم، فلنجد معادلة الكرة .

الحل :

في البداية نقوم بكتابة الشكل العام لمعادلة الدائرة وهو كالتالي :

س² + ص² + ع² = نق2

ثم نقوم بالتعويض بالمعطيات في المعادلة كالاتي :

(س – 6)² + (ص- 3)² + (ع – 2)² = ²4

إذا المعادلة هي : (س – 6)² + (ص- 3)² + (ع – 2)² = 16

مثال 3 :

قم بحساب مركز الكرة وطول نصف قطرها، الكرة التي تمتلك معادلتها تساوي (س² + ص² + ع² – 8س – 6ص + 10ع – 5)

 الحـــل :

 من خلال إكمال المربع لكل من س، ص، ع كما يلي: س مربع + ص مربع + ع مربع – 8 س – 6 ص + 10 ع = 5 

نجد أن معامل س (-8) ونصفه (-4) وتربيعه (16) ثم نضع (-16 ، 16) 

نجد أن المعامل ص (-6) ونصفه (-3) وتربيعه (9) ثم نضع (-9، 9)

أخيرا، نجد أن معامل عدد (10) ونصفه (5) وتربيعه (25) ثم نضع (-25، 25)

و الان بالتعويض : س² – 8س + 16 – 16 + ص² – 6ص + 9 – 9 + ع² + 10ع + 25 – 25 = 5

و من خلال التحليل و فصل المتغيرات : (س – 4)² + (ص – 3)² + (ع + 5)² = 5 + 16 + 9 + 25

نجدا أن : ( س – 4 )² + ( ص – 3 )² + ( ع + 5 )² = 55

إذا  المركز هو  = ( 4 ، 3 ، -5 )

وطول نصف القطر (نق) هو الجذر التربيعي لـ55   

المثال 4 : 

 احسب المعادلة التي تحقق الشروط التالية للكرة:

 تمر مركزها عبر النقطة (2، -1، -3) ولها مركز (7، 3، 5)

الحــل :  

نقوم بالتعويض بالمعطيات في معادلة الكرة كالاتي :

(س – 7)² + (ص – 3)² + (ع – 5)² = نق 2   

تحقق النقطة (2، -1، -3) التي تمثل (س، ص، ع) المعادلة التالية 

(2 – 7)² + (-1 – 3)² + (-3 – 5)² = جذر 2

  25         +     16         +     64       =105           

مما يعني أن نصف القطر = نق2 = 105

المعادلة هي (س – 7)² + (ص – 3)² + (ع – 5)² = 105