بحث رياضيات عن المثلثات
هذا البحث الرياضي عن المثلثات هو إليكم ؛ حيث يعتبر حساب المثلثات من أقدم العلوم التي عرفتها الإنسانية، وأكبر دليل على ذلك هي أهرامات مصر؛ فالحضارة المصرية القديمة هي أقدم حضارات العالم، ويتميز حساب المثلثات بوجود العديد من النظريات التي ينسب إليها أهم علماء الرياضيات بشكل عام، ويغطي هذا البحث عن المثلثات وخصائصها وأهم نظرياتها، تابعونا.
بحث رياضيات عن المثلثات
تعريف المثلث وخصائصه
المثلث هو مضلع مكون من ثلاثة أضلاع وثلاثة زوايا، وهو واحد من الأشكال الأساسية في الهندسة.
اذكر هندسة إقليدية (مستمدة من اسم إقليدس)؛ عندما يكون هناك ثلاث نقاط غير خطية؛ فإنها تشكل مثلثا فريدا، وفي نفس الوقت تسمى مساحة إقليدية ثنائية الأبعاد.
ببساطة، لا يوجد سوى مستوى واحد يحتوي على هذا المثلث، وكل مثلث موجود في عدة مستويات.
إذا كانت الهندسة بأكملها هي الإقليدية الثنائية الأبعاد فقط، فهناك مساحة واحدة فقط ذات الأبعاد الثنائية التي تحتوي على مثلثات، ومع ذلك، تكون موجودة في المساحات الإقليدية ذات الأبعاد الأعلى، لكن الآن هذا لم يعد صحيحا.
خصائص المثلث
أوجه المثلث
يجب أن يكون مجموع طول أي من وجهي المثلث أكبر من طول الجانب الثالث، أو متساويا معه، وهذا يندرج تحت قاعدة عدم المساواة بين أطوال جوانب المثلث.
من الممكن أن يكون طول هذا الجانب مساويا لطول الجانب الثالث فقط في حالة التثليث المنحل، وهو مثلث يحتوي على رؤوس متداخلة. ولا يمكن أن يكون طول هذا الجانب أقل من طول الجانب الثالث. كما يمكن أن يكون هناك مثلث يحتوي على ثلاثة أطوال جانبية إيجابية، ولكن طول هذه الأطوال الجانبية يجب أن يكون غير متساوي.
زوايا المثلث
في المثلث، يوجد ثلاثة زوايا، ومجموعها يساوي 180 درجة، وتكون قيمة كل زاوية في المثلث إيجابية، على أن تكون أقل من 180 درجة، وإذا كان المثلث غير محلول؛ فيمكن أن تكون الزاوية 0 درجة.
يسمح هذا بتحديد قيمة الزاوية الثالثة في أي مثلث باستناد إلى قياس الزاويتين المعروفتين
الزاوية الخارجية للمثلث هي الزاوية التي تكون مكملة للزاوية الداخلية، ومقدار الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين له، وهذه هي نظرية الزاوية الخارجية؛ حيث أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية الثلاث لأي مثلث يبلغ 360 درجة
التشابه والتطابق في المثلثات
يكون المثلثين متشابهين عندما تكون كل زاوية في المثلث لها نفس قياس الزاوية المقابلة في المثلث الآخر، وأيضا الأطوال المقابلة للمثلثات المتشابهة لها أطوال متساوية بنفس النسبة، وهذه الخاصية كافية أيضا لإثبات التشابه.
بعض النظريات الأساسية حول المثلثات المتماثلة هي:
إذا كان هناك زوج من الزوايا الداخلية بنفس المقياس في مثلثين، فإن المثلثات ستكون متشابهة.
إذا كانت هناك أضلاع متقابلة من مثلثين متماثلين بنفس النسبة مع أضلاع أخرى متقابلة، وكانت الزوايا المتضمنة لهما متساوية في القياس، فإن هذه المثلثات تكون متشابهة، والزاوية الموجودة في أي جانب من جوانب المضلع هي الزاوية الداخلية بين هذين الجانبين.
إذا كانت الأزواج الثلاثة من الجانبين المتشابهين للمثلثين متطابقة بنفس النسبة، فإن المثلثات ستكون متشابهة.
المثلثات الصحيحة
المثلثات الصحيحة هي النظرية المركزية لفيثاغورس، وهي النظرية التي تنص على أن أي مثلث صحيح يكون مربع طول الوتر المنخفض فيه متساو مع مجموع مربعات أطوال الجانبين الآخرين، على سبيل المثال:
في المثلث (أ، ب، ج)، إذا كانت طول الوتر تحت ج، وأطوال الساقين هي أ و ب، فهذا يثبت هذه النظرية.
إذا كانت أطوال أضلاع المثلث متساوية، فإن الزوايا المقابلة لهذه الأضلاع ستكون لها نفس القياس، وذلك بسبب أن هذه الزوايا تكون مكملة ولكل منهما قياس 45 درجة، وباستخدام نظرية فيثاغورس، يكون طول القطر هو طول الساق.
إذا كان المثلث يحتوي على زوايا حادة بقياس 30 أو 60 درجة، فإن الوتر يكون ضعف طول الضلع الأقصر، والضلع الأطول يكون مساو للأضلاع القصيرة.