بحث عن خصائص الأعداد الحقيقية

في هذا المقال، نقدم لكم شرحا وبحثا عن خصائص الأعداد الحقيقية مع الأمثلة الموضحة، يمكن أن تعرف الأرقام كمجموعة من الرموز التي يستخدمونها للتعبير عن الأعداد التي تقع بين الصفر والتسعة، وبالتالي فهي ليست أعدادا بل تعتبر أشكالا يستخدم من خلالها التعبير عن كمية الأشياء ومقدارها. على سبيل المثال، نجد أن رمز العدد سبعة هو الرقم 7 فقط، في حين أن رمز العدد 73 يتكون من الرقمين 3 و7. وبناء على ذلك، نستنتج أن الأعداد أو الأرقام هي الأساس الذي تقام عليه جميع العمليات الحسابية في مختلف المجالات مثل الرياضيات والإحصاء والفيزياء وغيرها. وتشمل هذه الأعداد ست مجموعات وتنتمي إلى مجموعة تعرف بمجموعة الأعداد الحقيقية، وهذا ما سنتحدث عنه في مقالنا اليوم حول الأعداد الحقيقية. وإليكم مزيدا من التفاصيل على الموسوعة .

بحث عن خصائص الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية

• يمكن تعريف الأعداد الحقيقية في الرياضيات على أنها مجموعة من الأعداد، وهذه الأعداد غير متناهية، ويمكن تمثيلها على خط مستقيم متصل، ويسمى هذا الخط خط الأعداد.
• تتضمن هذه الأعداد مجموعات مختلفة، بما في ذلك الأعداد النسبية ومجموعة الأعداد غير النسبية، وكذلك مجموعة الأعداد الطبيعية وأخيرا مجموعة الأعداد الصحيحة.

نشأة الأعداد الحقيقية

كما نعلم أن هناك كميات وأطوال ومقادير صعبة القياس باستخدام الأعداد الصحيحة أو الكسرية، وإنما نتيجة قياسها هي عدد غير كسري، ويمكن تصور هذه الأرقام على أنها من الأعداد غير المنتهية، والتي يمكن تمثيلها على محور الأعداد، ومن هنا جاءت فكرة نشأة الأعداد.

أهم خصائص الأعداد الحقيقية

• إذا كانت أ، ب، ج أعداد تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية، فإنّ:[١] (أ+ب) يعادل عددا حقيقيا، وبالمثل (أ-ب) يعادل عددا حقيقيا، على سبيل المثال (3=1+2)؛ حيث إن العدد 3 هو عدد حقيقي، وبالمثل (1=1-2) وهو أيضا عدد حقيقي. (أ×ب) يعادل عددا حقيقيا، وبالمثل (أ/ب)؛ شرط أن ب لا يكون صفر، على سبيل المثال (2=2×1).
• يعتبر العدد صفر عددا حقيقيا؛ حيث يمثل العنصر الوسطي في عملية الجمع، على سبيل المثال (5=0+5). يعتبر العدد 1 عددا حقيقيا؛ حيث يمثل العنصر الوحيد في عملية الضرب، على سبيل المثال (5=1×5). العدد العكسي لأي عدد حقيقي هو العدد المضاف إليه، على سبيل المثال العدد العكسي للعدد (أ) هو (-أ). العدد المقلوب لأي عدد حقيقي غير صفر هو العدد المقسوم عليه، على سبيل المثال العدد المقلوب للعدد (أ) هو (1/أ).
• تشمل الأعداد الحقيقية الصفر وأي رقم موجب أو سالب ، وأي رقم يتم تمثيله بشكل محدد ومعروف ، بالإضافة إلى الأعداد غير الكسرية ، مثل رمز الباي.

أمثلة توضح كيفية تصنيف الأعداد الحقيقية

مثال1:

• يتم تصنيف الأعداد التالية إما كأعداد نسبية أو كأعداد غير نسبية، مع توضيح السبب. العدد (…..0.88888) يمثل كسر عشري متكرر وغير منتهي؛ حيث يمكن كتابته بصورة (أ/ب)، حيث أ وب هما عددين صحيحين وب لا تساوي صفر، وبالتالي يعتبر عددا نسبيا. العدد (……0.151151115111115) يمثل كسر عشري غير منتهي وغير متكرر بنمط محدد؛ حيث لا يمكن كتابته بصورة (أ/ب)، حيث أ وب هما عددين صحيحين وب لا تساوي صفر، لذلك يعتبر عددا غير نسبيا.
• الجذر التربيعي للعدد 2. الحل: الجذر التربيعي للعدد 2 هو جذر مربع غير كامل، ولا يمكن تمثيله على شكل (أ/ب)، حيث أ و ب هما عددان صحيحان وب لا تساوي الصفر، وبالتالي فإنه يعتبر عددا غير نسبي.

مثال2:

• تصنف الأعداد التالية كأعداد طبيعية وصحيحة ونسبية وغير نسبية وحقيقية. (1 ، 0.52 ، -15 ، 1/2 ، جذر التربيع للعدد 23).
• تتميز بخاصيتين أساسيتين، فهي مكتملة ومرتبة كحقل، وتتمتع بخصائص عددية معينة
• o     الأعداد الطبيعية “ط”، (بالإنجليزية: الأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد من الصفر إلى مالا نهاية، وتشمل الأعداد الموجبة والصفر. العدد الموجب هو العدد الذي يحمل إشارة الموجب (+) أو لا يحمل إشارة.
• {0 , 1, 2, 3, ……}
• o     الأعداد الصحيحة “ص”: العدد الصحيح هو مجموعة الأعداد التي تشمل الأعداد السالبة والموجبة والصفر، وتتراوح بين الما لا نهاية السالبة والما لا نهاية الموجبة. العدد السالب هو العدد الذي يحمل إشارة سالبة (-) على يمينه.
• { …….,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,……}
• o     الأعداد النسبية ” ن” : هي مجموعة جميع الأعداد التي يمكن تمثيلها على شكل بسط ومقام، مع الشرط أن قيمة المقام لا تكون صفرا.
• { أب . أ , ب أعداد تنتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة، ب≠ صفر}.

مثال:

• { 14 , -510 , ….}.
• o     الأعداد غير النسبية: هي مجموعة الأعداد غير المنتهية وغير الدورية، والتي لا تحتوي على جذور تكعيبية كأعداد طبيعية، مثل جذر العدد 3.
• تشمل مجموعة الأعداد الحقيقية أيضا الأعداد التي لا يمكن تمثيلها بصورة كسرية مثل الباي (π) وعدد أويلر والنسبة الذهبية.

مميزات الأعداد الحقيقية

1. الأعداد الطبيعية (N): وهي الأعداد {. . . . . 1,2,3,4,5}، فكل عدد يقع بين الصفر واللانهاية من الأعداد الموجبة هو عدد طبيعي.
2. الأعداد الكلية(W): وهي الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الصفر: {0، 1، 2، 3، 4، 5}
3.  الأعداد الصحيحة(Z): تشمل الأعداد الكلية الأعداد الإيجابية والأعداد السالبة، أي الأعداد الموجودة بين اللانهاية الإيجابية واللانهاية السالبة مع الصفر، يمكن تمثيل هذه الأعداد على شكل كسر بمقام يساوي 1.
4. الأعداد النسبية(Q): تتميز بعدة خصائص، مثل احتوائها على الأعداد الصحيحة وجذور التربيع والأعداد الكسرية، وتكون كل عدد مكونا من (بسط ومقام) مع شرط أن المقام لا يساوي صفر، لأنه في حالة القسمة على صفر سيكون الناتج قيمة غير محددة.
5. الأعداد الغير نسبية(I): هي أعداد غير منتهية وغير دورية، وتكون هذه الأعداد تحت الجذر إذا كنا غير قادرين على استخراج جذورها، وتكون هذه الأعداد غير قابلة للتمثيل على شكل كسر أو كسر عكسي، ومن أمثلتها الأعداد العشرية غير المنتهية وجذور المربعات غير المثالية.

العلاقات بين مجموعات الأعداد

حدد علماء الرياضيات العلاقات بين مجموعات متنوعة من الأعداد الطبيعية والحقيقية والصحيحة والنسبية والغير نسبية على النحو التالي:

• مجموعة الأعداد الطبيعية تعتبر جزءا من مجموعة الأعداد الصحيحة.
• ومجموعة الأعداد الصحيحة هي جزء من مجموعة الأعداد النسبية.
• ومجموعة الأعداد النسبية هي جزء من مجموعة الأعداد الحقيقية.

خط الأعداد الحقيقية

• أو ما يسمى بالمستقيم العددي الحقيقي الذي ابتكره عالم الرياضيات الإنجليزي جون واليس، ويشار إليه باستخدام الرمز X”OX.
• هو خط أفقي يضم جميع الأعداد الموجبة والسالبة والصفر، ويحتوي على نقاط تمثل الأعداد الحقيقية المحددة على مسافات متساوية.
• ويحتوي كل جانب من جانبي خط الأعداد الحقيقية، سواء كانت الأعداد إيجابية أم سالبة، على رمز اللامتناهي (الما لا نهاية)، الذي يعبر عن عدم وجود نهاية للأعداد ويشير إليه بواسطة هذا الرمز ∞.

اهميه الأعداد الحقيقية

• لا يتقيد استخدام الأعداد الحقيقية في علم الرياضيات فقط، بل يتم الاعتماد عليها أيضا في الفيزياء.
• فالعديد من النظريات الرياضية التي تعتمد على الأعداد الحقيقية أسهمت في تطوير العديد من المفاهيم الفيزيائية مثل التسارع والسرعة اللحظية.
• توجد بعض الحسابات الخاصة بالحاسوب تستخدم بعض الأعداد الحقيقية وليس كلها.

المراجع

1