خصائص الدائرة وتعريفها وقوانينها
تعرف معنا أيها القارئ العزيز من خلال مقالنا اليوم على خصائص الشكل الهندسي الأولي المعروف باسم الكرة، فهو يندرج ضمن مجموعة الأشكال الهندسية الأساسية التي اكتشفها الإنسان، ويتواجد في مجال الرياضيات، ويتميز بكونه مجموعة من النقاط المتصلة ببعضها البعض بشكل منحن، ولا يحتوي على أضلاع
الدائرة هي شكل هندسي يتميز بأن جميع نقاطه مغلقة حول مركزه. تسمى هذه النقطة الثابتة أو النقطة المركزية. تدور النقاط الأخرى حولها. لذا، سنتعرف في هذه السطور على تعريف الدائرة وخصائصها ومحيطها ومساحتها. فقط عليكم متابعتنا.
تعريف الدائرة
- يمكننا استخدامها للعثور على مجموعة من القيم الرياضية، وتعتمد في العديد من التطبيقات العلمية.
- أما المسافة بين المركز وأي نقطة على المحيط، فتعبر عن نصف قطر الدائرة، وتسمى هذه النقطة نقطة الحافة.
- تتكون الدائرة من عدة نقاط متباعدة عن بعضها بنفس المسافة في جميع الاتجاهات، ويشار إليها بنصف القطر. إنها تلك النقطة المحددة المسماة بمركز الدائرة
- تشتمل على وتر، وهو الخط الذي يربط بين نقطتين على المحيط الدائرة.
- يشير المحيط إلى المسافة المحيطة بالدائرة من كل جانب.
- من بين أشكال الوتر، هناك القطر الذي يختلف في شكله عن الأوتار الأخرى بسبب مروره بالمركز.
- إذا أردنا توضيح معنى الكرة في مجال الهندسة، سنجد أنها تمثل جسما ينتج عن دوران دائرة بالكامل حول قطر واحد، أما في المجال الهندسي الفراغي أو التقليدي، فإنها ترمز إلى المساحة المستديرة التي تحتوي على جميع النقاط المبعدة بشكل كبير عن النقطة المحددة وتسمى المركز.
- ويطلق على المسافة بين المركز وجميع النقاط المتصلة بالدائرة اسم الشعاع.
- عند القطع بالشعاعين المستقيمين، اسمه هو القطر مثل الدائرة.
خصائص الدائرة
تتميز الدائرة عن الأشكال الأخرى بمجموعة متنوعة من الخصائص، وتشمل ما يلي:
- تحتوي على نصف الأقطار بأعداد كبيرة غير منتهية، وتكون متساوية في الطول.
- تتميز بوجود مركز واحد وحولها مجموعة من النقاط المختلفة، وتسمى هذه المجموعة محيط الدائرة.
- يتم إنشاء مثلث متساوي الأضلاع عن طريق ربط نصفي قطر الدائرة والوتر الذي يصل بين أطرافهما.
- يوجد داخل الدائرة خط يلامس محيطها ويسمى المماس.
- قيمة ط متساوية في جميع مساحات وأنواع الدوائر.
- نلاحظ أن وتر الدائرة ليس ثلاثي الأبعاد، ويمثل إحدى الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد.
- عندما يزداد طول الوتر، تقل المسافة العمودية بين الوتر ومركز الدائرة.
- يوجد فيها نصف قطر يعبر عن الطول بين نقطة على محيط الدائرة ومركز الدائرة.
- 3 أضعاف طول القطر يساوي محيط الدائرة.
- إذا كان نصف قطر الدوائر متساويا، فإن الدوائر متماثلة.
- الوتر الأطول في الدائرة يسمى قطر الدائرة.
- عند رسمهم، المماسان يتوازيان عند نهايتي قطر الدائرة الواحدة.
- يمكننا الحصول على القيمة الثابتة باي pi عن طريق قسمة محيط الدائرة على القطر، وعادة ما تكون القيمة 3.142.
- عند إقامة عمود من منتصف قطر الدائرة فإنه يمر بالمركز.
- الوتر يتم تنصيفه بواسطة العمود الذي يسقط عليه من وسط الدائرة.
خصائص زوايا الدائرة
الزاوية المركزية
- تسمى بالإنجليزية بزاوية المركز، وهذه الزاوية تكون لها رأس عند المركز الرئيسي للدائرة، وتكون نهاية أضلاعها على محيط الدائرة.
- نجد أيضا أن الزوايا المركزية المتساوية لبعضها أقواسها تتساوى مع بعضها.
- عندما تكون الزوايا المقابلة لنفس القوس، ستكون متساوية في القياس.
- ضعف الزاوية المحيطية في القوس يكون مساويا للزاوية المركزية في نفس القوس.
- زيادة طول القوس المقابل للزاوية المركزية مع زيادة قياسها.
- القوس الذي يتم تشكيله بواسطة الزاوية المركزية يساوي نصف محيط الدائرة، وذلك إذا كانت الزاوية المركزية تساوي 360°=2π.
الزاوية المُحيطية
ويشار إلى هذا الزاوية باللغة الإنجليزية بـ Inscribed Angle، وتتكون من تقاطع وترين وتلاقيهما عند محيط الدائرة، وتتمتع بمجموعة متنوعة من الخصائص، وتشمل:
- تلك الزوايا المتجاورة التي تقع على نفس الوتر وتكون متقابلة تساوي مجتمعها 180°.
- نجد أن الزوايا المقابلة لنفس القوس متساوية في القياس.
- الزوايا التي تم رسمها على نفس القوس متساوية.
- زوايا الدائرة المحيطية تكون متساوية تقريبا 90°.
- كلما زاد قياس الزاوية المحيطية، زاد طول القوس المقابل لها.
تاريخ الدائرة
المصريين القدماء
- يعود الفضل الأول في معرفة خصائص الدائرة إلى الدولاب، فدراسة الدائرة تعود إلى العصور القديمة قبل التاريخ.
- كان الإغريق دائما ينسبون اختراع علم الهندسة إلى المصريين القدماء.
- هناك أدلة تاريخية تثبت هذا الأمر، حيث كان الملك أحمس مالكا لبردية رند وقد قام بشرح وتفسير حساب المثلثات والمساحات في الزمن القديم.
- فهو الشخص الذي وضع أول قاعدة عامة للمساهمة في حساب مساحة الدائرة.
- ساعد في اكتشاف النسبة التي تم استخدامها في حساب مساحة الدائرة ومحيطها، بالإضافة إلى استخدامها في حساب حجم الكرة، وهي 256/81 أي تساوي 3.16. هذا الرقم الثابت المعروف بـ pi لا يزال يستخدم حتى الآن ونسبته الحالية تساوي 3.1416.
الإغريق طاليس
- تمكن في عام 650 قبل الميلاد من وضع نظريات حول الدائرة.
في سنة 450 قبل الميلاد ، حاول أنغزاغورس إيجاد صيغة رياضية لحساب مساحة المربع التي تعادل مساحة إحدى الدوائر.
بالإضافة إلى ذلك، هناك كتاب وضعه أقليديس الثالث، يتضمن خصائص الدائرة والعناصر الأقليدية والمسائل الحسابية المتعلقة برسم المضلعات داخل الدوائر.
في النهاية، تبقى الدائرة كما هي مع مجموعة من الخصائص التي تميزها عن الأشكال الهندسية الأخرى. نجد أن نظرية كرة أرخميدس تشبه إلى حد كبير الكرة الأرضية، ونلاحظ أيضا أن القمر والشمس لهما شكل كروي مائل إلى الدائرة، ولا يوجد أي شكل هندسي آخر يشبههما.
أجزاء الدائرة
الجزء الداخلي: يعبر عن مساحة الدائرة، ويتم قياسها بالمتر المربع.
الجزء الخارجي: يسمى محيط الدائرة، ويتم قياسه بوحدة المتر.
وبشكل عام نلاحظ أن أجزائها كالآتي:-
القطعة: تعبر عن المنطقة المحصورة بين محيط وقطر الدائرة.
الوتر: يشير إلى الخط المستقيم الذي يبدأ عند نقطة محددة على محيط الدائرة، وينتهي بعد ذلك عند نقطة أخرى على محيط الدائرة.
قوس الدائرة: مكونة من أجزاء مختلفة من محيط الدائرة.
القطاع الدائري: يعبر عن المكان الواقع بين نصفين قطريين في الدائرة.
القاطع: يشير إلى الخط الذي يلامس نقطتين على سطح الدائرة.
قوانين الدائرة
محيط الدائرة
- تعتبر الدائرة من المبادئ الأساسية في علم الرياضيات، وهناك العديد من الاستخدامات والعلوم التي تعتمد عليها، بالإضافة إلى ذلك، يمكننا الاعتماد على قانون الدائرة في العديد من الأنشطة اليومية التي نقوم بها.
- يتكون من نقاط متعددة تشكل شكل الدائرة في النهاية، وتبدأ وتنتهي بنفس النقطة، وبشكل عام، يعبر عن طول محيط الدائرة.
- قطر الدائرة يمثل الوتر الأطول الذي يصل بين نقطتي محيط الدائرة ويمر عبر المركز.
- بشكل عام، المحيط الدائري يعتبر من المصطلحات الهامة التي يتم استخدامها للتعبير عن شكل الدائرة.
- يمكن تعريف محيط الدائرة بأنه المسافة التي تقطعها عند السير لمرة واحدة حول شكل مغلق ويعتبر ثنائي الأبعاد ويرمز لإجمالي طول جوانب المضلع.
- يتم تعريفه باللغة الإنجليزية على أنه المسافة التي تحيط بموقع معين.
- تقاس بوحدة السم، المتر، الميليمتر، أو أي وحدة أخرى تعبر عن قياس الأطوال.
- يمكننا حساب محيط الدائرة باستخدام نصف قطرها، فقانون الدائرة هو محيط الدائرة = 2× نصف القطر× ط، وبصيغة أخرى يساوي 2×π × نصف قطر الدائرة.
- أو محيط الدائرة = π × القطر.
- وهنا تكون القيمة الثابتة التي تساوي نق = 3.14.
مثال1
احسب محيط عجلات السيارة إذا كان نصف قطرها يساوي 30 سم
حل المسألة
مُحيط الدائرة = 2 نق× π
2×30×3.14 = 188.4 سم = 1.884متر
محيط العجلات الأربعة = 4 × محيط العجلة الواحدة = 4 × 188.4 = 753.6 سم = 7.536 متر.
مثال2
إذا كان قطر الدائرة 10 سم، فما هو محيطها؟
مُحيط الدائرة = π × قطر الدائرة.
وبالتالي = 3.14×10 = 31.4سم.
مساحة الدائرة
- تستغرق بعض الوقت لحسابها، فهي من الطرق المعقدة إلى حد ما لحساب محيط الدائرة، حيث يتم في البداية حساب نصف القطر، ثم يتم حساب القطر، وبعد ذلك يتم حساب المحيط، وأخيرا يتم حساب المساحة.
- مساحة الدائرة = (نصف القطر) ^2 × ط (π) أي تساوي نق² × ط.
- 22/7 أو π = 3.14
- مساحة الدائرة تساوي ط مضروبا في نق تربيع (أي نصف القطر مربع)
مثال1
إذا بلغ محيط خزان الماء الدائري حوالي 90 سم، فما هي مساحته؟
الإجابة
في البداية يتم حساب محيط الخزان = 2× نق × ط
نق = 6.28/90 = 14.33سم.
مساحة القاعدة الدائرية للخزان = نق²×ط = 14.33² × 3.14 = 644.7955 سم².
مثال2
دائرة قطرها ٨٠ سم، فماذا تكون مساحة الدائرة؟
نصف القطر = 40سم.
مساحة الدائرة = 3.14 × 40 مربع = 3.14 × 40² = 5.024 سم.
وفي هذا المقام ينتهي كلامنا، وقد تطرقنا من خلاله للتعرف على خصائص الدائرة وقوانينها، والقوانين المتعلقة بها، نتمنى أن تكون المعلومات قد أفادتك، وحازت على إعجابك، وبكل تأكيد سنكون سعداء لمتابعتك الطيبة، ونتركك الآن في رعاية الله وحفظه.
المراجع