بحث عن فضاء العينة

نقدم لك عزيزي القارئ من خلال موقع موسوعة بحثا عن Sample space، وهو يحتوي على مجموعة من العناصر التي تشير إلى جميع النتائج المحتملة التي يمكن الوصول إليها من خلال التجارب العشوائية المختلفة المدروسة.

تظهر هذه النتائج المتوقعة للأفراد عند إجراء تجارب عشوائية في ما يعرف بالعينة، حيث يتم تجربة أشياء مختلفة، بما في ذلك العملات المعدنية والنرد، وهذه هي بعض الأمثلة الواضحة.

ومع ذلك، يمكننا أيضا أن نقوم بتجارب على الأشياء والظواهر الأخرى الحقيقية، مثل فرص الفوز في مباراة، وإجراء إحصائيات واستبيانات محددة، وغيرها.

بشكل عام، نجد أن النتائج التي نحصل عليها تكون واضحة، وقد نتوقع النتيجة ولكن لا نعرفها إلا عندما نراها أمامنا، ويتم إجراء التجربة أمام أعيننا.

وهناك الكثير من الأمثلة التي سنقدمها لك في الجمل التالية، مع تقديم معلومات مختلفة حول الموضوع، فقط عليك متابعتنا.

بحث عن فضاء العينة

مفاهيم الاحتمال

تشمل التجربة العشوائية، وفضاء العينة، والحدث بأنواعه المختلفة، وسنشرحها لك عبر النقاط التالية:-

التجربة العشوائية

تعرف باللغة الإنجليزية بمصطلح العينة العشوائية، وهي أي إجراء يتخذه الفرد بالتأكيد على معرفته الكاملة بجميع المتغيرات المرتبطة به، ولكنه لا يعلم أيا من المتغيرات التي ستحدث، وتعتبر هذه العمليات أيضا تلك التي توفر قياسا محددا لظاهرة ما، وتسمى في علم الإحصاء بالتجربة الإحصائية.

مثال:-

عند رمي قطعة نقدية معدنية مرة واحدة، سنجد أن لديها عنصرين وهما الصورة والكتابة، فاحتمال ظهور الصورة يساوي احتمال ظهور الكتابة، ولا توجد احتمالات أخرى.

وبالتالي نجد عناصر المجموعة{صورة، كتابة}.

تعريف فضاء العينة

• تعد المجموعة التي يحصل عليها الشخص عند إجراء تجربة عشوائية والتي يمكن أن تؤدي إلى نتائج مختلفة، بما يسمى فضاء النتائج، وهذا المفهوم موجود في علم الإحصاء المتعلق بمجال الرياضيات.
• وفي مفهوم آخر، يشير إلى تلك المشاهدات التي تظهر عند وجود تجربة معينة، ويرمز لها بالحرف S، أما الحرف n(s) فيشير إلى مجموعة العناصر في فضاء العينة.
• يمكن استعمال مجال العينة في الاحتمالات الوراثية، وأيضا هناك أمثلة أخرى نستطيع أن نفهم منها مجال العينة وكيفية إجراءه ونوضحها لك في النقاط التالية.

مثال1

• في حالة وجود مباراة كرة قدم بين فريقين أ وب، يكون لدينا نتيجة تصبح إما لصالح فريق أ، أو لفوز فريق ب، وقد ينتهي اللقاء بالتعادل بين الفريقين، لذا نحصل هنا على ثلاثة احتمالات فقط للنتيجة، وبالتالي يتم تحديدها في إطار مجموعة يطلق عليها اسم فضاء العينة ويتم تمييزها بالرمز ف.
• وبعد ذلك يتم وضع النتيجة بين قوسين، وبين كل عنصر وآخر يتم وضع علامة الفاصلة (،).

مثال2

عند رمي النرد 20 مرة، يتوقع أن يكون عدد النقاط المحتملة في كل مرة من الأرقام التالية: 1، 2، 3، 4، 5، 6.

مثال 3

• في السلة يوجد خمس تفاحات وثلاثة حبات برتقال، لذلك يكون الفضاء المطلوب لهذه التجربة كما يلي:
• {تفاحة1 ، ت2 ، ت3 ، ت4 ، ت5 ، برتقالة1 ، ب2 ، ب3}.

مثال 4

نتيجة الاستفتاء على تعديلات دستورية ستكون مجموعة العناصر الخاصة بها كالآتي:-

{نعم، لا، تعادل، أصوات باطلة}.

مثال 5

في حالة اختيار 200 ناخب من إجمالي عدد الناخبين في إحدى البلاد، وسؤالهم عن الأشخاص الذين قاموا بانتخابهم، سنجد أن مجال العينة يتكون من إجابات الناخبين في الانتخابات، والمجموعة الفرعية المختارة من مجال العينة تسمى أحداثا.

مفهوم الحدث وانواعه

• من ضمن مفاهيم الاحتمال هو الحدث event ، ومعناه العناصر الجزئية من فضاء العينة، كما أشرنا سلفاً..
• وهذه الأحداث ترتبط بالصيغة 2ن.
• وهنا يشير رمز الـ ن إلى عدد العناصر التابعة لفضاء العينة.
• فيمكن أن تعتبر احتمالية حدوث الأحداث بحرف الـ A، وهو يشير إلى عدد الحالات التي يحدث فيها الحدث فعلا بالنسبة لجميع الحالات المحتملة.
• ويُمكن أن نوضح هذا الأمر من خلال المُعادلة الآتية:-  P(A) = M ÷ N
• وهنا N يشير إلى عدد الحالات المحتملة وقوعها.
  
• أما M فترمز إلى عدد حالات وقوع A التي حدثت فعليا.
  

مثال

عند رمي النرد مرة واحدة، فإن احتمال ظهور رقم فردي هو 0.5، حيث أن الأعداد الفردية هي 1 و 3 و 5 من إجمالي ستة أرقام موجودة على النرد، وعددهم ستة، وهنا يكون الاحتمال 3 ÷ 6 = 0.5.

أنواع الأحداث

الحدث البسيط Simple Event

• هو حدث يتكون من عنصر واحد فقط،
• مثال: ظهور رقم1 عند رمي حجر النرد.

الحدث المركب Compound event

ويشمل أكثر من عنصر، مثل حدث الأعداد الزوجية {6،4،2} وظهورها عند رمي النرد.

الحدث المؤكد

• وهو الحدث الذي يشمل جميع عناصر عينة الفضاء.
• مثال: عند إلقاء قطعة نقود معدنية أو رمي حجر النرد، يمكن أن تظهر صورة أو كتابة إذا كان الرقم أقل من 7.

الحدثان المستقلان Independent events

• هؤلاء الحدثان لا يتأثران ببعضهما، فإذا حدث أحدهما، لا يؤثر ذلك على وجود الآخر. وهناك قاعدة يمكن أن نعتمدها لحدثين وهي P(A ∩ B) = P(B) × P(A)
• وهناك قاعدة أخرى يمكن الاستعانة بها في حالة وجود أكثر من حدثين، وتكون كالتالي:-
• P(A ∩ B ∩ C ∩…∩ Z) = P(A)×P(B) ×P(C)×…× P(Z).

الحدث المستحيل

هو حدث لا يشتمل على أي عنصر، ومن المستحيل حدوثه، مثال على ظهور الرقم 7 عند رمي حجر النرد.

الأحداث المُكملة Complementary events

هما الحدثان اللذان يكون اتحادهما مساويا لفضاء العينة، أي أن A و A هما الحدثان المكملان، حيث A υ A = S

الأحداث المنتظمة dependent events

تشمل جميع الأحداث التي يكون لها نفس احتمالية الحدوث، مثل رمي النردة مرة واحدة، وفي هذه التجربة نرى ما يلي: –

P(1)= P(2)= P(3)=P(4)= P(5)= P(6)= 1:6

الأحداث الغير مستقلة (المشروطة)

وهم حدثين يؤثر وقوع أحدهم على الحدث الآخر.

مثال على ذلك أوراق الكوتشينة التي يبلغ عددها 52 ورقة، وعند سحب ورقة واحدة منها يتأثر اللعب، لأن سحب أي ورقة أخرى جديدة يقلل من الفرص، وتقل أكثر عند السحب لعدد من المرات المتتالية.

ومثال آخر عندما يحدث لدينا حدثان هما A و B نكتب هنا أن حدوث الحدث A يكون مشروطا بحدوث الحدث B وتكون القاعدة هنا على النحو التالي:

                  P(A ∩ B) 

                P(A / B) = ـــــــــــــــــــــــــ , P(B) ¹ 0

                P(B)

.P(A ∩ B) = P(B) × P(A / B) – أو القانون التالي

نجد هنا أن P(A / B) يعني إحتمال وقوع حدث A ولكن الشرط هو وقوع حدث B.

إذا كانت الأحداث مستقلة ولا تتأثر أحداها بالآخر، فإن القانون يكون كالتالي: P(A ∩ B) = P(B) × P(A)

الحدثان المتنافيان Mutually Exclusive events

وتسمى هذه الأحداث الغير متصلة، وهي حدثان لا يشتركان في أي عنصر، ويتقاطعان في مجموعة فارغة.

يمكن تفسير هذا من خلال المعادلة التالية A ∩ B = f ، مثلا {2}، أو {3}.

الأحداث الشاملة Exhaustive events

إذا كان S مساحة عينة، يمكننا أن نقول أن الأحداث أ، ب، ج تكون شاملة عند تحقق هذه الشروط:-

• إتحادها يُعادل S أي S = ج υ ب υ أ
• لا تكن أي منهم فارغا وذلك يعني F≠أ ، F≠ب و F≠ج.
• متناقضة بين بعضها، ومعناها f = ب ∩ ج ، f = ج ∩ أ ، f = ب ∩ أ.

أنواع فضاء العينة

فضاء العينة (فراغ)

هذه النتائج هي نتيجة سلسلة من التجارب العشوائية، كما أشرنا سابقا، ونجد أن العينة تمثل أي نتيجة عشوائية، أي أحد العناصر في العينة S.

مثال1

عندما يتم إلقاء قطعة نقدية معدنية مرة واحدة، هناك احتمالين فقط: إما رؤية الكتابة أو الصورة.

فضاء عينة غير متجانس (غير مُتماثل)

• يطلق على الفضاء غير المتماثل أو غير المتجانس اسم المجال U.
• في حالة أن احتمالات الأحداث البسيطة الخاصة بفضاء العينة غير متساوية، فهنا يتم تقسيم فضاء العينة N إلى مجموعة من الأحداث المبسطة، وبالتالي نجد أن كل اثنين يكونان أغراب عن بعضهما، ويتحقق هذا الأمر وفقا لهذه المعادلة A1 أو A2 أو… أو An = U، وبالتالي فاتحاد هذه العناصر يعتبر فضاء العينة كله، ويتم تحقيقه بشكل متساو

فضاء عينة متجانس (متماثل)

• يسمى بفضاء الاحتمالات المتماثلة، ويرمز له بالرمز U، حيث تكون احتمالات حدوث جميع الأحداث البسيطة متساوية.
• بالتالي، يكون لفضاء العينة n مجموعة من الأحداث البسيطة، وبالتالي يكون احتمال كل حدث منها كالتالي: p=1/n

الاحتمال الشرطي

• إذا كان هناك حادثان، أ و ب، وإذا كانت قيمة P(B) غير مساوية للصفر.
• إذا، فإن معادلة الاحتمال الشرطي لحدوث حادثة أ بوجود حادثة ب هي كما يلي: P (أ/ب) = P
• ومن هنا نفهم أن الاحتمال الشرطي لحدث أ إذا وقع حدث ب يعادل حاصل قسمة الاحتمال المشترك لحدث أ و ب على احتمال وقوع حدث ب.
• في نهاية المطاف، نجد أن مجال العينة يمثله العديد من الأمثلة بما في ذلك الأمثلة التي تكون ذات عدد لانهائي، ولكن هناك أمثلة أخرى تحقق نتائج محددة، يمكن للباحث استخدامها في الإحصاءات المستخدمة في الأبحاث المختلفة والتجارب البحثية المتنوعة وغيرها.

فضاء العينة لرمي قطعة نقود أربع مرات

في هذه الحالة يتضمن فضاء العينة ثمانية عناصر، ويوجد العديد من الاحتمالات المختلفة حيث يمكن أن تظهر الكتابة أربع مرات، والصورة أربع مرات، وقد تظهر الكتابة مرة واحدة والصورة سبع مرات، أو العكس، وقد تظهر الصورة مرتين، والشعار ستة مرات، أو العكس، وغيرها من الاحتمالات الأخرى.

بعد الانتهاء من الشرح عليك أن تلقي نظرة على هذه الرسمة التي تبين الأحداث المختلفة بشكل بسيط.

يسمى الرسم البياني الذي يصور الأحداث في العينة بمخطط فان، ويستخدم لفهم تركيب الأحداث المتعددة والتداخلات وغيرها

هنا ينتهي مقالنا لهذا اليوم، وتحدثنا من خلاله عن فضاء العينة ومفهوم وأنواع الحدث، وأيضا تعريف الاحتمال، نأمل أن تكون المعلومات مفيدة لكم، ونترككم الآن في أمان الله ورعايته.