مفهوم الاحتمال الهندسي

يلعب الاحتمال الهندسي دورا هاما في حياة الأفراد اليومية، حيث يستخدم في حل المسائل الحسابية ويمكن استخدامه في توقع حدوث أمور معينة عند اتخاذ قرارات معينة، مثل توقعات حالة الطقس. هذا هو محتوى المقال الذي نقدمه لكم على موقع موسوعة.

يعد الاحتمال الهندسي وسيلة لدراسة توقع حدوث شيء ما قبل حدوثه بالفعل، ومن هذا نفهم أن هذا التوقع غير مؤكد، وللإحتمال الهندسي أنواع متعددة بعضها يعتمد على الحظ وبعضها الآخر يعتمد على التوقع ولكل منها قواعده الخاصة، وهناك أيضا الاحتمال الفرعي والاحتمال العام، والاحتمال الرياضي يستنبط أسسه من محاولات التحليل والفهم، وسنعرض التفاصيل الخاصة به في الفقرات التالية.

الاحتمال الهندسي

• هو طريقة تسمح بالتعامل مع مشكلة النتائج غير المعروفة من خلال قياس النتائج باستخدام الطرق الرياضية أو الهندسية، مثل المساحة، الحجم أو الطول. وهذا يجعله متخصصا في تحليل العمليات العشوائية. يعد واحدا من الأمور الأكثر أهمية المستخدمة بواسطة العديد من الخبراء في مجالاتهم لتحديد المساحات العشوائية التي يودون تحليلها أو تمثيلها.
• يمكن حل العديد من المشكلات المعقدة بسهولة وبساطة من خلال الاحتمال الهندسي. ومع ذلك، فإن النتائج التي تأتي منها ليست مؤكدة. عندما يتعامل الشخص مع ظاهرة قابلة للتغير باستمرار ولا يمكن توقع نتائجها بدقة، فإنه لا يمكن التعامل مع تلك المتغيرات المستمرة في تلك الحالة.
• أما الاحتمال الهندسي فيقدم وسيلة مناسبة للاطلاع على تلك النتائج ومن ثم تحويلها من مشكلة إلى نتيجة محددة، والاحتمال الهندسي ليس نوعا واحدا بل هو أكثر من نوع منها الاحتمال المنفي (المستحيل)، الاحتمال المؤكد، والاحتمال المشروط.

تعريف الاحتمال الهندسي

• الاحتمال هو نظرية رياضية تهتم بدراسة احتمال حدوث الأحداث العشوائية، وفي علم الرياضيات، الاحتمالات هي مجموعة من الأرقام التي تتراوح بين 0 و 1، وتستخدم لتحديد احتمال حدوث حدث عشوائي معين أو عدم حدوثه.
• تستمد النظرية الهندسية الرياضية للاحتمالات جذورها من ألعاب الحظ التي بدأت منذ القرن السادس عشر، حيث تم استخدام النظرية في عمليات حساب فرص ظهور بعض العناصر من بين مجموعة كبيرة من العناصر المختلفة.

تقرير عن الاحتمال الهندسي

• تشمل نظرية الاحتمالات الهندسية المفاهيم الأساسية في نظرية الاحتمالات المتعلقة بالمتغيرات المستمرة والمتغيرات المنفصلة وعمليات الاحتمال العشوائي وتوزيعات الاحتمال التي تقدم النماذج الرياضية للعمليات غير المحددة أو المؤكدة، أو الكميات التي تم قياسها والتي قد تكون حوادث فردية تطورت مع مرور الوقت بطرق عشوائية.
• وبالرغم من أنه لا يمكن التنبؤ التام بنتائج تلك الأحداث العشوائية، إلا أنه يمكن ذكر الكثير عن سلوكياتهم، وهناك نتيجتان رئيسيتان وفقا لنظرية الاحتمالات التي توضح مثل هذا السؤال وهما نظرية الحد المركزي وقانون الأعداد الكبيرة.
• وكأساس للإحصاء الرياضي، فإن نظرية الاحتمالات تعتبر مهمة بالنسبة للعديد من الأمور والأنشطة البشرية التي تشمل التحليل الكمي للبيانات، وتطبق الطرق المتعلقة بنظرية الاحتمالات على الخواص التابعة للأنظمة المعقدة التي يتم فهمها فقط من خلال فهم جزء من حالتها، مثلما يتضمنه ذلك في الميكانيكا الإحصائية، وقد تم اكتشاف هام في مجال الفيزياء في القرن العشرين، وهو أن الطبيعة الاحتمالية للظواهر الفيزيائية في المقاييس الذرية التي وضعتها نظرية الميكانيكا الكمومية.

مثال على الاحتمال الهندسي

• الاحتمال الهندسي هو أداة تسمح بمعالجة مشكلة النتائج الغير محدودة من خلال قياس عدد النتائج باستخدام النهج الهندسي، بما في ذلك الحجم والمساحة والطول، وعادة ما تواجه مشكلات متعددة بالاحتمال الرئيسي، وعلى الرغم من ذلك، فإنها تحتوي على العديد من المشكلات المهمة ذات المتغيرات المستمرة.
• وكمثال على ذلك، نذكر مشكلة الانتظار للحافلة في الوقت المحدد، فقد يكون من الصعب التعامل مع المتغيرات المستمرة، ولكن الاحتمال الهندسي يوفر طريقة مهمة عن طريق تحويل المشكلات المحتملة إلى مشكلات هندسية، وإذا كان ذلك غريبا يمكن التطرق إلى هذه المشكلة.
• تأتي الحافلة بشكل عشوائي بين الساعة الثانية عشرة مساء والساعة الواحدة ظهرا. ظهرت في الساعة الثانية عشرة والنصف مساء. ما هو معدل احتمال ركوب الحافلة؟ يمكننا حساب ذلك هندسيا من خلال اختيار نقطة عشوائية على خط واحد البعد: الفاصل الزمني بين الساعة الثانية عشرة والنصف مساء والساعة الواحدة مساء يكون بنفس الطول من الساعة الثانية عشرة مساء إلى الساعة الثانية عشرة والنصف مساء.
• على الرغم من أن المثال السابق ذكره بشكل مباشر وواضح، إلا أنه يمكن بسهولة وبساطة إيجاد حل للكثير من المشكلات المعقدة باستخدام الاحتمال الهندسي.

صيغة الاحتمالات الهندسية

لسهولة حساب الاحتمال الهندسي، ستتطلب العثور على مناطق الأشكال التي تتألف منها المسألة، وأيضا التعرف على المساحة الكلية، وهي أكبر مساحة في الرسم البياني، على سبيل المثال، اللوحة المعلومات بأكملها. ستتطلب أيضا التعرف على المنطقة المرغوبة التي تمثل الجزء المراد الوصول إليه مثل عين الثور. وبمجرد الانتهاء من حساب هاتين المساحتين، ستكون الصيغة:

• P = المطلوب / المجموع، وفي هذا النمط، يشير P إلى الاحتمال الهندسي .

أنواع الاحتمال الهندسي

تستخدم العديد من أنواع الاحتمالات للوصول إلى أفضل النتائج الممكنة، وتشمل هذه الأنواع:

• الاحتمال النسبي أو التكراري: تحدد ذلك الاحتمال بناء على حدوث الحدث في حالتين. أولهما هو عدد مرات حدوث الحدث في المحاولات المتعددة، أي عدد مرات ظهور الحدث ومن ثم قسمته إلى عدة مرات لإجراء التجربة المتكررة. أما الحالة الثانية، فهي نسبة حدوث الحدث على مدى فترة طويلة مع الحفاظ على ثبات الظروف المحيطة بالحدث.
• الاحتمال الشخصي: هو الاحتمال الذي يعتقده الشخص أو يتوقعه وفقا لخبرته السابقة بناء على ما يراه أمامه، ويختلف هذا الاحتمال من شخص لآخر بناء على خبرته.
• الاحتمال الثابت أو المنتظم: هو نفس الفرصة المتساوية مع فرص الظاهر من العناصر، حيث إذا تم رمي حجر النرد هناك فرصة واحدة ستحدث من بين ست فرص وسيكون رقما من واحد إلى ستة.
• الاحتمال التجريبي: تستند تلك الاحتمالات على نتائج مختلفة وفقا لإجمالي عدد مرات إجراء التجارب.
• الاحتمال الكلاسيكي: يتم استخدام هذا النوع من الاحتمالات لتحديد نتيجة رمي النرد، من خلال كتابة جميع الاحتمالات الممكنة ثم تسجيل الأحداث التي تحدث عند ظهور أحداث النرد، أو عند رمي أحد القطع المعدنية والتي تنتج احتمالين، الأول هو ظهور الكتابة والثاني هو ظهور الصورة، وعند تكرار هذه التجربة عدة مرات، يتم تسجيل النتائج التي تم الحصول عليها في كل مرة.

أساس نظرية الاحتمال الهندسي

يقوم الاحتمال الهندسي على عنصر أساسي وفكرة أساسية وهما:

العنصر الأساسي لنظرية الاحتمال الهندسي

• هذا العنصر هو التجربة، والتجربة تتكرر بشكل متكرر. ونتائج تلك التجربة غالبا ما تكون مختلفة في كل محاولة لتكرارها، حيث تسمى هذه النتائج المختلفة بالعينة العشوائية، مثل محاولة رمي النرد والتي تنتج العديد من النتائج المتنوعة من الرقم واحد إلى الرقم ستة.
• كما أن العناصر الأساسية التي تنتج عن نظرية الاحتمال الهندسي تركز على الأحداث المتغيرة في الظروف العشوائية، فإن الاحتمالات ليست مقتصرة على مجال الهندسة أو الرياضيات فحسب، بل يتم استخدام الاحتمالات في جميع جوانب الحياة عند تقدير الفرص أو التوقعات تجاه أي أهداف أو أشياء.

الفكرة الأساسية للاحتمال الهندسي

• الفكرة الأساسية هي احتمالية هندسية تحسب بها عدد النتائج الممكنة لتكون متساوية، ثم تقسم النتائج وفقا لعدد النتائج المحتملة والكلية، وإذا كنت ترغب في معرفة النتائج وتحديد الاحتمالات بشكل مستمر.
• وقد لا يمكن أن يحتسب النتائج بسبب هذا التغيير، حيث تعد نظرية الاحتمال أحد الفروع الضرورية والهامة في علم الرياضيات.

التعبير عن الاحتمالية

بعد الدراسة والبحث، نصل إلى استنتاج أن نظرية الاحتمال الهندسي تلعب دورا كبيرا في حياتنا اليومية حتى دون أن ندرك ذلك في كثير من الأحيان، حيث يعتمد اتخاذ القرارات المصيرية دائما على حساب الاحتمالات لجميع القرارات الممكنة في كل الأوقات.

ومن بين الأمثلة البارزة التي يمكننا طرحها على الاحتمال هي دوائر الأرصاد الجوية، خاصة عند دراسة النشرات الجوية على المدى البعيد، حيث يلاحظ في بعض الأحيان تنخفض دقة التوقعات الجوية بعد مرور أسبوع أو عشرة أيام، حيث تصبح مجرد احتمال.

المراجع

1

2

3