بحث عن البرهان الجبري وأمثلة عليه جاهز للطباعة
بحث عن البرهان الجبري
- سنقدم لكم اليوم معلومات عن البرهان الجبري مع بعض الأمثلة في هذا المقال على موسوعة، فما عليكم سوى متابعتنا من خلال الجمل التالية. البرهان الجبري هو أحد فروع علم الجبر.
- البرهان هو الطريقة الرياضية التي يتم اعتمادها لإثبات صحة علاقة أو قضية رياضية معينة باستناد إلى مجموعة من الحقائق المعروفة.
- يعتمد البرهان على سلسلة من الخطوات المتسلسلة التي تعتمد على ما يسبقها لإثبات صحة العلاقة أو العبارة الرياضية أو خطأها أو الوصول إلى استنتاج معين بشكل عام.
- ما هو برهان الجبر التحديد، وعلى أي أساس يتم تطبيقه في حل المعادلات، سنتعرف على ذلك في الجمل التالية، فتابعونا.
ما هو البرهان
- يعتمد الجبر في عمله على رموز مكتوبة باللغة اليونانية واستخدامها مستمر حتى الآن.
- في أواخر القرن السادس عشر، قام العالم الرياضي الفرنسي فرانسوا فييت بتطوير علم الجبر، ويعود إليه الفضل في نشأة الجبر الحديث.
- بعد ذلك، قام العالم الفرنسي رينيه ديكارت بابتكار الهندسة التحليلية وتطوير العديد من رموز الجبر.
- لذلك، فمن المتفق عليه أن علم الجبر هو واحد من أهم العلوم الرياضية التي تستند على مجموعة من الأعداد، وتخضع لسلسلة من العمليات الرياضية.
- أما البرهان بشكل عام فهو طريقة الإثبات التي يتم الاستعانة بها لتحديد صحة أو خطأ علاقة ما.
- والبرهان ليس مقتصرا على الأمور الرياضية التي تحتاج إلى إثباتها أو نفيها فقط، بل يعتمد عليه للوصول إلى الحقائق والمسلمات.
- تعد نظرية فيثاغورث، على سبيل المثال، من المعتقدات التي تم إثبات صحتها من خلال البراهين، بالإضافة إلى نظرية أقليدس وغيرها من النظريات التي قدمت لنا مجموعة من القوانين الرياضية المؤكدة صحتها والتي سهلت حل المسائل وإثبات العلاقات الرياضية.
- باستخدام البرهان، نتوصل إلى الحقيقة التي تقول إن مجموع زوايا المثلث لا يمكن أن يكون أكثر من 180 درجة فقط. يمكننا أن نستنتج من هذه القاعدة لاستنتاجات أخرى باستخدام البراهين أيضا.
البرهان الجبري
- البرهان الجبري هو نوع من البراهين الرياضية التي يمكن استخدامها لحل المعادلات والمتباينات الرياضية.
- يتم التعبير عن كميات غير محدودة باستخدام الرموز في البرهان الجبري، وهي التي يطلق عليها اسم “المتغيرات”،
- في البرهان الجبري، يتم حل المعادلات بتحديد القيم عند وجود معادلات رياضية تحتوي على تلك المتغيرات، ويتم دراسة الطريقة التي يتم من خلالها التعامل مع تلك المتغيرات.
- وهذا يختلف عن البرهان الهندسي الذي يعتمد على قياس الزوايا وإثبات التوازي والأشكال المستقيمة وغيرها من المسائل الهندسية.
- بالنسبة للبرهان الإحداثي، فهو الذي يهتم بالتحليل الهندسي.
مفهوم البراهين الجبرية
- تعتمد البراهين الجبرية على دراسة وتحليل المتغيرات في المعادلات الرياضية. يتم تعريف المتغيرات كرموز رياضية تعبر عن قيمة أو كمية معينة، وتستخدم هذه الرموز في المعادلات للوصول إلى قيمة محددة. وتثبت القيمة النهائية التي تم الوصول إليها بعد حل المعادلات الرياضية صحة البرهان والنظرية الرياضية.
- يعتمد البرهان الجبري على حل العديد من المشاكل الرياضية المنتشرة والمعروفة، حيث يتعامل الجبر مع العمليات الرياضية الأكثر شهرة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.
- لذلك، يتم استخدام الجبر بكثرة في حياتنا اليومية ويحرص الكثيرون على دراسته واكتساب معرفته وفنونه، ويتم استخدامه بشكل كبير في العمليات التجارية والحسابية.
- يعتمد البرهان على إبراز برهان منطقي ورياضي قابل للقياس لفرضية مطروحة، بواسطة البرهان يمكن إثبات خطأ الفرضية أو صحتها، فالتفكير المنطقي الدقيق يسهل التوصل إلى حل للفرضية المطروحة.
- وما يجب على العالم القيام به هو اتباع الخطوات العلمية بشكل منظم ومتسلسل للوصول في النهاية إلى حل للفروض، ولتعميم هذا الحل فيما بعد، فإن العلماء يعتمدون على العقل والمنطق.
- لا يوجد نظريات لا تعتمد على أسباب وبراهين علمية ومنطقية، فهناك العديد من النظريات التي نشرت في المجالات العلمية وثبت مصيرها الخاطئ وعدم صحتها من خلال البراهين والأدلة القوية التي تعتمد على المنطق والمعرفة.
- نلاحظ أن البراهين الجبرية تهتم بدراسة المعادلات لحلها وإثبات نظريات جبرية يمكن تعميمها فيما بعد ، أما البراهين الهندسية فتركز علماء الرياضيات فيها على دراسة الأشكال الهندسية المختلفة مثل الخطوط المستقيمة والمثلثات ، وتشمل دراسة قياسات الزوايا والأضلاع والأطوال وكل ما يتعلق بعلاقات التوازي والتتابع وما شابه ذلك.
أمثلة على البرهان الجبري
- وإليكم مجموعة من الأمثلة على البرهان الجبري:
مثال 1
إذا كان س = ٥، فأثبت أن ٢(٢س+٥)-٢= ٢٨
الحل
بما أن س=5، فإن 2س= 2×5=10
إذن (2س+5)= (10+5)=15
وبالتالي فإن 2(2س+5)-2= 2(15)-2
أي 30-2= 28 وهو المطلوب إثباته.
مثال 2
إذا كان ص= 10 اثبت أن 5 ص -1= 7²
الحل
إذا كان ص تساوي 10، فإن 5ص بالتعويض يساوي 50
إذن 50-1= 49
بما أن 7²= 49، يكون 5 ص -1= 7² ، عندما تكون ص = 10، وهذا ما يجب إثباته.
مثال 3
من الأمثلة الأخرى لاستخدام البرهان الجبري هو إثبات أن جمع عددين زوجيين سيكون الناتج عددا زوجيا، ويمكن إظهار ذلك من خلال المثال التالي:
إذا كان س و ص أعداد صحيحة، وبعد جمع ²س و ²ص، سيكون الناتج كما يلي ²س + ²ص = 2(س+ص)، وهذا يعني أن مجموع العددين هو عدد صحيح مضروب في 2، وسيكون الناتج من ضرب 2 في العددين الصحيحين عدد زوجي.
مثال 4
ومن القواعد الأخرى التي يثبتها البرهان الجبري أنه عندما يتم جمع ثلاثة أعداد صحيحة، ستكون النتيجة مساوية لأحد مضاعفات العدد ثلاثة، ومن الأمثلة التي تدل على ذلك هي ما يلي:
إذا كان س عددا صحيحا وكانت هناك 3 أعداد، الأول هو س والثاني هو س+1 والثالث هو س+3، فإذا تم جمع تلك الأعداد ستصبح المعادلة كالتالي: س+(س+1)+(س+3)= x3س+3 أو x3 (س+1).
مثال على البراهين الرياضية في المعادلات
أكد العالم هيرنان أن إضافة رقم 1 إلى أي رقم ستؤدي بالتأكيد إلى الحصول على عدد أولي. حاول إثبات هذه الفرضية باستخدام البراهين الجبرية، ولكن تم فشل النظرية وإثبات كذب الفرضية بسبب البراهين الجبرية، وسنوضح ذلك بمثال بسيط:
1 ^ 2 + 1 = 1 + 1 = 2 ، يكون أولي.
2 + 1 = 1 + 1 = 2 ، هو أولي.
2 ^ 2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، وهو أولي.
2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، وهو أولي.
ومع ذلك، نلاحظ أنه في كل هذه الأمثلة لا يوجد رقم مربع، وعند محاولة إثبات فرضية أو نظرية ما، يجب دراسة جميع الأمثلة بأشكالها المختلفة، ولذلك يجب إعادة التجربة باستخدام الأرقام المربعة
3 مرفوعة للأس 2 + 1 = 9 + 1 = 10 ، وهو ليس عددا أوليا.
2 + 1 = 9 + 1 = 10، وهو ليس عددا أوليا.
تاريخ البرهان الجبري في الرياضيات
- ظهرت الجبر مع ظهور الحضارة الفرعونية والحضارة البابلية القديمة، حيث اهتموا بدراسة المعادلات بأنواعها المختلفة سواء كانت خطية أو تربيعية، واهتموا أيضا بدراسة المتغيرات والرموز المختلفة للوصول إلى نظريات منطقية وعلمية.
- بعد ذلك، اهتم الهنود بدراسة البراهين وعلم الجبر. من بين العلماء الشهيرين في القديم كان العالم الهندي بوذاهيانا. قام بوضع براهين جبرية لنظرية فيثاغورث المشهورة عام 800 قبل الميلاد. كانت دراسته متخصصة في زوايا وأضلاع المثلث.
- كان العالم الرياضي الخوارزمي أول من استخدم مصطلح الجبر في كتبه ودراساته، وذلك في عام 780 ميلاديا. فقد كتب في كتابه “المختصر في حساب الجبر والمقابلة” وأسس علم الجبر.
- أنتقل علم الجبر من العالم العربي إلى العالم الأوروبي والأجنبي بعد ترجمته على يد العالم فيبوناتشي، وهو عالم إيطالي. في عام 1170، قام فيبوناتشي بترجمة الكتب العربية التي تتحدث عن علم الجبر، وبدأ هذا العلم في الانتشار وجذب العديد من المهتمين به.
- ثم تطور هذا العلم بسرعة كبيرة على يد العديد من العلماء الأجانب، مثل العالم أرس ماجنا والعالم جورج بيكوك والعالم جوزيه غيبس والعالم رينيه ديكارت والعالم سيكي كوا والعالم غوتفريد لايبنيز والعالم غابرييل كرامر والعالم جوزيف لويس لاغرانج والعالم باولو روفيني وغيرهم من العلماء الذين كتبوا الكتب المتعلقة بعلم الجبر وتحدثوا بالتفصيل عن المعادلات الرياضية وعن البراهين وكيف أن البراهين هي أساس الرياضيات والنظريات الرياضية الحديثة.
وبهذا يتأكد فشل النظرية وعدم صلاحيتها، وعدم قدرة العالم على تطبيقها وتعميمها على المعادلات الرياضية المختلفة، وباستخدام البراهين الجبرية يمكن إثبات صحة أو خطأ فرضية ما.
للمزيد يمكنك متابعة
إذا اعجبك الموضوع يمكنك قراءة المزيد من: تم تقديم عرض بوربوينت لدرس البرهان الجبري في الفصل الأول من مادة الرياضيات 1 ضمن المقررات المشتركة، وقد تطرق العرض إلى موضوعات مثل التبرير والبرهان في الرياضيات، وشرح نظرية ذات الحدين وتقديم أمثلة عليها، وتقديم تقرير حول علم الجبر، والتركيز على البرهان الرياضي بدون كلمات، وبحث عن التبرير الاستقرائي والتخمين، وبحث عن أهمية الرياضيات.
المراجع