بحث رياضيات عن المصفوفات أنواعها .. بحث عن المصفوفات شامل

إليكم بحث رياضيات عن المصفوفات التي تدخل في الكثير من المجالات الهامة التي نقوم باستخدامها في حياتنا اليومية، كما تعتمد عليها معظم النظم الاقتصادية حول العالم، ولها الكثير من الخصائص، والنظريات الرياضية التي تُفسر وجودها، وكيفية عملها، واستعمالها، وفي هذا المقال اليوم من هنا يأتي بحث في مجال الرياضيات حول المصفوفات التي تستخدم في العديد من المجالات الهامة التي نواجهها في حياتنا اليومية، وتعتمد عليها معظم الأنظمة الاقتصادية في جميع أنحاء العالم، ولها العديد من الخصائص والنظريات الرياضية التي تفسر وجودها وكيفية عملها واستخدامها، وفي هذا المقال اليوم على موقع الموسوعة سنقدم بحثا شاملا عن المصفوفات وخصائصها وأنواعها واستخداماتها.

بحث في الرياضيات حول المصفوفات وأنواعها واستخداماتها وتعريفها

هناك ثلاثة أنواع من عمليات الصف:

• إضافة صف يعني إضافة صف آخر.
• ضرب الصف هو عملية ضرب كل العناصر في الصف بواسطة عامل ثابت غير صفري.
• تبديل الصف، وهذا يعني تبادل صفين من المصفوفة.

تستخدم هذه العمليات بعدة طرق، بما في ذلك حل المعادلات الخطية والعثور على المصفوفات العكسية.

محدد المصفوفات الرياضية

• لكي يتمكن العلماء من إيجاد حلول لبعض المصفوفات الرياضية، قاموا بتحديد تلك المصفوفات واستخدامها في العديد من التطبيقات الرياضية مثل إيجاد معكوس المصفوفة وحل نظام المعادلات الخطية وغيرها.
• يتميز محدد المصفوفات الرياضية بأنه إذا كانت المصفوفة مربعة، فلا يمكن معرفة المحدد لأنه عدد حقيقي، وإذا لم تكن المصفوفة تساوي صفر، فلا يمكن إيجاد المعكوس فيها فقط.
• وبسبب ذلك، يتعذر استخدام تلك المصفوفة للتعبير عن المحدد بنفس الرمز المستخدم في التعبير عن قيم المصفوفة المطلقة.

على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة تحتوي على 3 صفوف و 3 أعمدة، أي أن أبعادها 3×3، فيمكن استخدام معادلة محدد المصفوفة لإيجاد قيمتها، وتلك المعادلة هي (القيمة العليا في اليمين× القيمة السفلى في اليسار) – (القيمة العليا في اليسار× القيمة السفلى في اليمين).

معكوس المصفوفات الرياضية

عكس المصفوفة الرياضية هو المصفوفة التي تنتج مصفوفة الوحدة عند ضربها في المصفوفة الأصلية.

المصفوفة الوحيدة قطرها يحتوي على العنصر 1 فقط، وبقية عناصرها هي أصفار، ويتم إيجاد المصفوفة المعكوسة وفقا لأبعادها المختلفة.

المعادلات الخطية

يمكن استخدام المعادلة الخطية ونظام المعادلات الخطية في المصفوفات للعمل مع معادلات خطية متعددة مثل أنظمة المعادلات الخطية، على سبيل المثال: إذا كانت س تمثل مصفوفة (أ×ب) وتعين متجه عمود (ب× 1) للمتغيرات بx1 و x2 و x و هـ تعبر عن (س-× 1) ناقل العمود، فإنه يمكن كتابة معادلة المصفوفة.

أنواع المصفوفات

مصفوفة قطرية وثلاثية

على سبيل المثال، إذا كانت جميع القيم في الأعمدة تحت القطر الرئيسي تساوي الصفر؛ فإنه يطلق على هذه المصفوفة اسم المصفوفة العلوية المثلثة، وبالمثل، إذا كانت جميع القيم في الأعمدة فوق القطر الرئيسي تساوي الصفر؛ فإنه يطلق على هذه المصفوفة اسم المصفوفة السفلية المثلثة، وإذا كانت جميع القيم خارج القطر الرئيسي تساوي الصفر؛ فإنه يطلق على هذه المصفوفة اسم المصفوفة القطرية.

المصفوفة القياسية

وهي مصفوفة دائرية تحتوي على عناصر متساوية وتقع على خط يربط الطرف العلوي اليمنى والطرف السفلي الأيسر.

مصفوفة الهوية

مصفوفة الهوية في الحجم ب هي مصفوفة (ب×ب) حيث تكون جميع العناصر في القطر الرئيس مساوية لـ 1، وجميع العناصر الأخرى مساوية للصفر، على سبيل المثال،

مصفوفة الوحدة

إنها مصفوفة ذات قطر ومربعة تحتوي على نفس العدد من الأعمدة والصفوف، ويمكن أن تصل أبعادها إلى أي عدد. أما بالنسبة للقطر، فهو يتكون من الرقم 1 فقط. عند ضرب مصفوفة الوحدة في مصفوفة أخرى، فإنها تنتج نفس المصفوفة.

مصفوفة التماثل

• مصفوفة مربعة متماثلة، أو مصفوفة متماثلة تنقلها، أي س تساوي نقلها؛ بمعنى آخر، ست= س، هي مصفوفة متماثلة، وإذا كان س بدلا من ذلك رقما سلبيا ينقلها؛ بمعنى آخر، A = س¯τ، ثم س هي مصفوفة متماثلة للانحراف.
• في المصفوفات المعقدة، يتم استبدال التماثل في كثير من الأحيان بمفهوم المصفوفات الهرمية، والذي يشير إلى أنه عند ∗س = س، حيث يعبر النجمة عن التحويل المتزامن للمصفوفة، أي تبديل المرافقة المعقدة لس.
• تتمتع المصفوفات المتماثلة الحقيقية والمصفوفات الهرمية المعقدة بمتلازمة القاعدة الخاصة في النظرية الطيفية. يمكن تعبير كل ناقل عنه بمزيج خطي من المتجهات الذاتية. في كلتا الحالتين، تكون جميع القيم الذاتية حقيقية. يمكن توسيع هذه النظرية إلى مواقف لا نهائية ذات صلة بالمصفوفات التي تحتوي على عدد غير محدود من الصفوف والأعمدة.
• تكون المصفوفة المتناظرة إيجابية محددة، وإذا كانت جميع القيم الذاتية إيجابية؛ فهذا يعني أن المصفوفة تكون إيجابية، وشبه منتهية، وتكون قابلة للانعكاس

المصفوفة المقلوبة

المصفوفة المعكوسة تسمى أيضا المصفوفة المربعة المقلوبة، وإذا كانت هناك مصفوفة من هذا النوع ص، فإن ص ستكون معكوسة لص وص ستكون تساوي بي؛ حيث بي هو مصفوفة هوية (ب× ب) على القطر الرئيسي وفي مكان آخر. وإذا كانت ص موجودة، فإنها فريدة من نوعها وتسمى المصفوفة العكسية لـ س، ويشار إليها بـ س− 1.

المصفوفة المتعامدة

المصفوفة المتعامدة هي مصفوفة مربعة تحتوي على أرقام حقيقية في أعمدتها، وتتميز بمتجهات وحدة متعامدة، أي متجهات تكون متعامدة بعضها البعض، وبالمثل، تكون المصفوفة س متعامدة إذا كان تحويلها مساويا لقيمها المعكوسة.

استخدامات المصفوفات

• تم العثور على تطبيقات المصفوفات في معظم المجالات العلمية، مثل:
• في كل فرع من فروع الفيزياء، بما في ذلك الميكانيكا الكلاسيكية والبصريات والكهرومغناطيسية والميكانيكا الكم والديناميكا الكهربائية الكمية، يتم استخدام الفيزياء لدراسة الظواهر الفيزيائية مثل حركة الأجسام الصلبة.
• تستخدم في رسومات الكمبيوتر، وتستخدم لمعالجة النماذج ثلاثية الأبعاد وعرضها على شاشة ثنائية الأبعاد.
• في نظرية الاحتمالات والإحصاء، يتم استخدام المصفوفات العشوائية لوصف مجموعات من الاحتمالات، على سبيل المثال، يتم استخدامها في خوارزمية تصنيف صفحات البحث في جوجل.
• حساب التفاضل والتكامل المصفوفي يوسع المفاهيم التحليلية الكلاسيكية مثل المشتقات والتكاملات إلى أبعاد أكثر تعقيدا.
• تستخدم المصفات في الاقتصاد لوصف أنظمة العلاقات الاقتصادية.
• يكرس فرع رئيس من التحليل العددي لتطوير خوارزميات فعالة لحساب المصفوفة، وهو موضوع عمره قرون، ويعتبر اليوم مجالا واسعا للبحث.
• تساهم طرق تحليل المصفوفة في تبسيط الحسابات من الناحية النظرية والعملية.
• تتم تصميم الخوارزميات وفقا لهياكل مصفوفة معينة، مثل المصفوفات المتناثرة والمصفوفات القريبة من القطر.
• تسريع العمليات الحسابية في طريقة العناصر المحددة، وأيضا العمليات الحسابية الأخرى.
• تحدث المصفوفات اللانهائية في نظرية الكواكب والنظرية الذرية، ومثال بسيط للمصفوفة اللانهائية هو المصفوفة التي تمثل عامل مشتق، والذي يعمل على سلسلة تايلور للدالة.

وبهذا نصل إلى نهاية مقالنا اليوم الذي تناول موضوعا رياضيا عن المصفوفات، حيث قدمنا تعريفا للمصفوفات وشرحا لكيفية حساب حجمها والعمليات الرياضية المتعلقة بها وأنواعها وأهم استخداماتها.

للمزيد من المعلومات، يمكنك البحث عن المصفوفات.

المراجع

1