بحث عن المتطابقات المثلثية وأنواعها

عندما نبحث عن المتطابقات المثلثية، يجد بعضنا أن الأمر معقدا بينما يشعر البعض الآخر أنه سهل جدا، ويعود ذلك إلى مدى معرفتنا بمبادئ الرياضيات وخاصة علم حساب المثلثات، وهذا العلم يختص بالمثلثات وحساباتها الخاصة، واليوم سنعرض لكم في هذا الموقع موسوعة حول المتطابقات المثلثية والقوانين المتعلقة بها

بحث عن المتطابقات المثلثية وأنواعها

تعريف المثلث triangle

تعرف المثلث بأنه واحد من الأشكال الهندسية الأساسية، كما أنه يعد شكلا ثنائي الأبعاد، ويتكون من ثلاثة أضلاع وثلاثة زوايا، ومن المعروف والمقرر في المثلثات أن مجموع طول أي ضلعين من أضلاع المثلث يكون دائما أكبر من الضلع الثالث، وأيضا مجموع زواياه يساوي مائة وثمانون درجة. ومن أنواع المثلثات وفقا لأطوال أضلاعها التالي:

•  المثلّث متساوي الساقين.
• المثلّث متساوي الأضلاع.
• المثلّث مختلف الأضلاع.
• المثلّث قائم الزاوية.

تنقسم المثلثات إلى عدة أنواع وفقا لمجموع زواياها على النحو التالي:

• مثلث حاد الزوايا: والذي يكون قياس الزاوية فيه أقل من 90 درجة.
• مثلث قائم الزوايا: وهو زاوية قياسها 90 درجة.
• مثلث منفرج الزوايا: ويحدث زيادة في قياس الزاوية بمقدار أكبر من 180 درجة.

تعريف حساب المثلثات Trigonometry

• فرع حساب المثلثات هو جزء من فروع الرياضيات ويتناول كل ما يتعلق بالمثلثات مثل حساب المسافات بين الأضلاع وقياس الزوايا، ويعد من الأهمية البالغة حيث يتم استخدامه في فروع أخرى مثل الهندسة والألعاب الإلكترونية وغيرها من العلوم
• ويتعلق هذا العلم أيضا بدوال الزوايا، وهي ظل الزاوية وجيب تمام الزاوية وجيب الزاوية.
• علم حساب المثلثات هو أحد العلوم المشهورة التي اهتمت بها الحضارات المختلفة، مثل الحضارة الصينية والحضارة البابلية والحضارة المصرية القديمة.
• ويبدأ هذا العلم في القرن الثاني قبل الميلاد من قبل عالم إغريقي حديث الشكل بتنسيق جدول القيم المثلثية، ثم يضع فيه قوانين رئيسية من قبل علماء هنود.
• حتى جاءت مجموعة من علماء العرب في العصور الوسطى والذين وضعوا عددا من النظريات والقوانين في هذا المجال، وفي القرن السادس عشر صاغ العديد من علماء أوروبا مجموعة من القوانين والنظريات فيه، مما أدى إلى ظهور نظريات جديدة في هذا المجال، وأشهر هذه النظريات كانت اللوغاريتمات التي ابتكرها جون نابيير في عام 1614.

تطابق المثلثات

 تحدث حالات تطابق فيها المثلثات، حيث يتطابق المثلثين إذا كانت أطوال أضلاعهما المتناظرة متساوية، وبالتالي تكون قياسات الزوايا المتناظرة فيهما متساوية أيضا

وهناك حالات تمكننا من معرفة وجود تطابق بين اثنين من المثلثات، وأحد هذه الحالات هو أن نعلم أن ثلاثة أضلاع في المثلث الأول تتطابق مع ثلاثة أضلاع في المثلث الثاني، وفي هذه الحالة يكون المثلثان متطابقين وزواياهم متشابهة

في حالة أخرى عندما نعرف قياس زاوية وطول الضلعين المجاورين لها في المثلثين – وتكون الزاوية والأضلاع نفسها في المثلث الآخر – يعتبر المثلثان متطابقين. وفي الحالة الثالثة، إذا كان قياس زاويتين وضلع في المثلث الأول متساويا مع قياس زاويتين وضلع متناظر في المثلث الثاني، يعتبر المثلثان متطابقين في هذه الحالة

تعريف المتطابقات المثلثية

يعرف المتطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية بأنها متطابقات تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر هذه المتطابقات مهمة جدا حيث لها دور هام في حل المعادلات الرياضية وخاصة في الدالة المعكوسة

تدرس المثلثات المتطابقة المثلث الذي يتكون من 3 أضلاع و3 زوايا، حيث يبلغ مجموع قياساتهم 180 درجة، وتستخدم هذه المثلثات في المتسلسلات النهائية وعلم التفاضل والتكامل واللوغاريتمات، بالإضافة إلى استخدامها في مختلف فروع علم الرياضيات.

المتطابقات المثلثية الأساسية

• الظل: ويرمز لها بالرمز (ظا)، وفي قانون المثلث القائم الزاوية، يكون ظا س يساوي الضلع المقابل للزاوية س مقسوما على الضلع المجاور للزاوية س، أي جا(س)/ جتا (س).
• القاطع: والرمز المستخدم هو (قا)، وفيما يتعلق بقانونه في المثلث القائم الزاوية، فهو قا س = الوتر ÷ الضلع المجاور للزاوية وجتا س = 1 ÷ قا س.
• قاطع التمام: ويرمز له بالرمز (قتا)، أما قانونه في المثلث القائم الزاوية فهو: قتا = وتر المثلث ÷ الضلع المقابل للزاوية س = 1 ÷ جا س.
• الجيب: رمزه في الرياضيات هو (جا)، وبالنسبة للقانون المتعلق بالزاوية القائمة في المثلث فإنه يتمثل في قسمة الضلع المقابل للزاوية على الوتر.
• جيب التمام: ورمزه (جتا)، أما قانونه في المثلث القائم الزاوية فهو: جتا س= الضلع المجاور للزاوية س مقسوما على الوتر.
• ظل التمام: ورمزه (ظتا)، وبالنسبة لقانونه في المثلث القائم الزاوية، فهو: ظتا س= الضلع المجاور للزاوية س ÷ الضلع المقابل للزاوية س=1÷ ظا س= جتا (س)/ جا (س).

أنواع المتطابقات المثلثية

المتطابقات المثلثية الأساسية تشمل الآتي:

مُتطابقات ناتج القسمة وهي:  

• ظا س = جا س ÷ جتا س.
•  قتا س= جتا س ÷ جا س.

متطابقات الضرب والجمع

• جاس جا ص= ½ [جتا(س-ص)- جتا (س+ص)]
• جتاس جتا ص= ½ [جتا(س-ص)+ جتا (س+ص)]
• جاس جتا ص= ½ [جا(س+ص)+ جا (س-ص)]
• جتاس جا ص= ½ [جا(س+ص)- جا (س-ص)]

متطابقات الجمع والطرح

• جا (س±ص) = جا (س) جتا (ص) ± جتا (س) جا (ص).
• جتا (س + ص) = جتا (س) جتا (ص) – جا (س) جا (ص).
• ضرب جتا (س-ص) يساوي ضرب جتا (س) في جتا (ص) مع جا (س) ضرب جا (ص).
• ظا (س+ص) = ظا (س) + ظا (س)/ (١-(ظا س ظا ص).
• ظا (س-ص) = ظا (س) – ظا (س)/ (1+(ظا س ظا ص).

 مُتطابقات مَقلوب العدد وتشمل: 

 قتا س= 1÷ جا س. قا س= 1÷ جتا س.

 ظتا س =1÷ ظا س.

 مُتطابقات فيثاغورس و تشمل:

• جتا 2 س+ جا 2 س= 1
•  قا 2 س – ظا 2 س= 1 
• قتا 2 س – ظتا 2 س= 1

متطابقات الزوايا المتكاملة

• جا س= جا (180-س).
• جتا س= – جتا (180-س).
• ظا س= – ظا (180-س).

متطابقات الزوايا المتتامة

• جا (90-س)= جتا س.
• جتا (90-س)= جا س.
• ظا (90-س)= ظتا س.
• ظتا (90-س)= ظا س.
• قا (90-س)= قتا س.
• قتا (90-س)= قا س.

متطابقات عكس الزاوية

• جا (س/2)=± ((1-جتا س)/2)√
• جتا (س/2)=± ((1+جتا س)/2)√
• ظا (س/2) = ± ((1-جتا س)/(1+جتا س))√ = جا س/(1+جتا س) = 1-جتا س/ جا س = قتا س – ظتا س.
• ظتا (س/2) = ± ((1+جتا س)/(1-جتا س))√= جا س/(1-جتا س) = 1+جتا س/ جا س = قتا س+ظتا س.

متطابقات ضعف الزاوية وتشمل

• جا 2س= 2 جاس جتاس
• – جتا 2 س= جتا² س- جا² س.
• – ظا 2س = 2 ظاس/ (1-ظا² س)
• – ظتا 2 س=(ظتا²س-1)/2 ظتاس.

 نظرية فيثاغورس

تعد نظرية فيثاغورس واحدة من أشهر النظريات في علم حساب المثلثات، حيث يمكن من خلالها حساب طول الوتر المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم. فقد يكون مربع طول الوتر مساويا لمربع طول الضلع الأول بالإضافة إلى مربع طول الضلع الثاني، ويمكن التعبير عن قانون فيثاغورس بشكل رياضي كما يلي: 

مربع طول الوتر = مربع طول الضلع الأول في المثلث + مربع طول الضلع الثاني في المثلث

ويعتبر ذلك خلافا لنظرية فيثاغورس، حيث يكون المثلث قائم الزاوية إذا كان مربع طول ضلعه الأطول يساوي مجموع مربعي طول الضلعين الأقصرين، وقياس الزاوية الخارجية في المثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين، باستثناء الزاوية المجاورة لها

استخدامات المتطابقات المثلثية في الحياة

بالإضافة إلى استخدام المثلثات في الرياضيات وتدريسها في المناهج الدراسية، هناك مجموعة من المجالات التي يستخدم فيها هذا العلم، ومنها:

علم الفلك

• يعتبر علم الفلك واحدا من أقدم العلوم التي استخدمت حساب المثلثات، قبل القرن السادس عشر، لحساب مواقع النجوم والكواكب.
• يستخدم لقياس المسافة بين الكواكب والأرض والشمس والأرض والقمر وحساب نصف قطر الأرض.

العمارة والهندسة

• أو معرفة الهندسة المعمارية، حيث يتم استخدام حساب المثلثات في بناء المنازل لقياس الأعمدة وزوايا جدران تلك المنازل قبل البناء.
• تعد هذه الخطوة واحدة من أهم الخطوات في البناء التي يجب عدم إهمالها حتى لا تنهار المنازل والمباني أو تتعرض جدرانها للتلف.
• يستخدم المهندسون معرفة حساب المثلثات في بناء أبراج الدعم وتحديد ارتفاعها وقياس المسافة بينها ومعرفة طول الكابلات وتحديد قوة الجسر.
• خلال عمليات البناء يتم الاعتماد على هذا العلم في تحديد الارتفاع المناسب للسلم والمنحدر الذي يتناسب مع السقف، وذلك من خلال وضع جدار منحني بطريقة صحيحة.

مجال النجارة

• يستخدم النجارون معرفتهم بحساب المثلثات أثناء قطع الزوايا لمعرفة قياسها أو تحديد الخطوط المتجاورة.

مجال الطيران

• في مجال الطيران يتم استخدام علم حساب المثلثات لتحديد اتجاه وسرعة الرياح بعد تحديد سرعة الطائرة والرياح.
• باستخدام هذا العلم، يمكن التعرف على الجانب الثالث للمثلث والذي ستسلكه الطائرة في مسارها الصحيح.

قياس ارتفاعات المباني

• يستخدم علم المثلثات لتحديد ارتفاعات الجبال والمباني.

علم الجريمة

• من أهم استخدامات علم حساب المثلثات هو تحديد مسارات وزوايا القذائف التي يتم إطلاقها في مسرح الجرائم.
• كما يمكن استخدامه في حوادث السيارات لمعرفة أسباب الاصطدام تقريبا.

مجال الملاحة

• يتم الاستفادة من المثلثات في مجال الملاحة لتحديد اتجاه وموقع البوصلة والانتقال بين الاتجاهات المختلفة لتحديد المواقع.
• يتم استخدامه أيضا في رؤية الأفق وحساب المسافات.

علم الأحياء البحرية

• يستعين علم الأحياء البحرية بعلم حساب المثلثات والنماذج الرياضية ووظائف المثلثات لمعرفة عمق ضوء الشمس اللازم للطحالب البحرية للقيام بالتمثيل الضوئي.
• ويستعان علماء علم الأحياء البحرية بهذا العلم أيضا لفهم سلوك الحيوانات البحرية الكبيرة مثل الحيتان وتقدير حجمها.

الصناعات التحويلية

• يتم استخدام العلاقات المثلثية في تحديد أحجام وزوايا الأجزاء الميكانيكية. تستخدم هذه العلاقات في الأدوات والآلات التي تصنع جميع أنواع الأشياء مثل السيارات وغيرها.
• تستخدم شركات السيارات هذا المعرفة لتحديد أحجام جميع أجزاء السيارات بشكل صحيح أثناء التصنيع والتحقق من أنها تعمل بشكل آمن معا.
• يستخدم العاملون في مهنة الخياطة العلاقات المثلثية الأساسية لتحديد زوايا السهام لنسج قميص أو تنورة.

ومن الاستخدامات الأخرى للمتطابقات المثلثية:

• أنظمة الأقمار الصناعية.
• إنشاء الخرائط.
• يُستخدم في علم التفاضل والتكامل.
• يستخدم لمعرفة مد المحيطات وارتفاع أمواجها.
• تتم وصف الضوء وموجات الصوت عن طريق الدوال المثلثية الأساسية مثل جيب التمام والجيب.
• يتم استخدامه في دراسة ترتيب ذرات الصلب البلوري.
• علم الزلازل.
• التصوير الطبي.
• تطوير اللعبة.
• رسومات الحاسوب.
• نظرية الأعداد.
• الإحصاء.
• الإلكترونيات.
• الصوتيات.
• البصريات.

وبهذا نصل إلى نهاية مقالنا عن دراسة المثلثات، حيث قمنا بتعريف المثلث وحسابه، وتطابق المثلثات والمتطابقات المثلثية وأنواعها واستخداماتها في الحياة.