شرح حجم المنشور الرباعي

في مجال الهندسة، غالبا ما نواجه سؤالا يطلب منا حساب حجم الشكل الرباعي، وهنا يأتي السؤال: ما هو القانون المستخدم لحساب حجمه؟ وما هي الخطوات المتبعة في الحل؟

مفهوم المنشور الرباعي

• هو أحد الأشكال الهندسية والمجسمات التي تشغل حيزا من الفراغ، ويتميز بأنه يحتوي على ستة أوجه وثمانية رؤوس، حيث يتكون من مربعين متطابقين ومتقابلين ومتوازيين كقاعدتي المنشور الرباعي.
• له أربع وجوه أخرى تكون جانبية وتشكل متوازي الأضلاع، وتتقاطع هذه الوجوه عبر عدة مستقيمات تسمى جوانب جانبية، ويمتلك اثنا عشر حرفا.
• وبالنسبة لهذا الجسم، ارتفاعه هو المسافة بين القاعدتين، ويمكننا حساب الأسطح الجانبية للجسم من خلال جمع جميع الوجوه الجانبية .
• وجميع أسطح المنشور سواء الجانبية أو القاعدت”(9133)” “جميع أسطح المنشور سواء الجانبية أو القاعدتين هي أسطح مستوية.
• يطلق على المنشور الرباعي هذا الاسم بسبب وجود 4 أضلاع له وبالتالي يكون شكله مربعا، ويسمى أيضا بهذا الاسم لأنه لديه 4 وجوه جانبية.

أنواع المنشور

• هناك أشكال وأنواع متعددة للمنشور تعتمد على عدد أضلاع القاعدة وشكلها، على سبيل المثال: المنشور الثلاثي له قاعدة مكونة من ثلاثة أضلاع، والمنشور الخماسي له قاعدة مكونة من خمسة أضلاع، والمنشور الرباعي له قاعدة مكونة من أربعة أضلاع، والمتوازي المستطيلات الذي يحتوي على ستة وجوه وكل وجه يشكل مستطيل له ثلاثة أبعاد، وإذا كانت الأبعاد متساوية فإنه يتحول إلى مكعب، وله قاعدتين مستطيلتين ويسمى أيضا متوازي السطوح.
• ينقسم المنشور إلى نوعين حسب شكل قاعدته، فهناك المنشور المنتظم الذي يحتوي على قاعدتين مضلعتين منتظمتين، وهناك المنشور غير المنتظم الذي يحتوي على قاعدتين ذات شكل مضلع غير منتظم.
• ينقسم المنشور أيضا إلى نوعين حسب زاوية حرفه الجانبي. هناك المنشور القائم، وهو الذي تتعامد فيه الأسطح الجانبية على قاعدتيه، وكل سطح من أسطحه الجانبية على شكل مستطيل. وهناك المنشور المنحني، وفيه يلتقي قاعدتيه مع الأسطح الجانبية له بزوايا غير قائمة، وكل سطح من أسطحه الجانبية يتخذ شكل متوازي الأضلاع.

قانون حساب حجم المنشور الرباعي

يمكننا حساب حجم أي منشور رباعي الأبعاد من خلال استخدام القانون التالي:

• الحجم (ح) = الطول × العرض × الارتفاع .
• الحجم يساوي ضرب القاعدتين بارتفاع المنشور.

خطوات الحل لحساب الحجم

لكي تتمكن من حساب حجم المنشور الرباعي، عليك فقط اتباع الخطوات التالية.

1. أولا نكتب القانون الذي سيستخدم في حساب حجم المنشور الرباعي وهو: الحجم = الطول × العرض × الارتفاع .
2. ثانيا نحسب الأبعاد الثلاثة لذلك المنشور وهما : الطول، والعرض، والارتفاع .
3. ثم نقوم بالتعويض في صيغة القانون وإيجاد الناتج للضرب في الأبعاد الثلاثة .

لنحصل على الحجم المطلوب ونتأكد من قدرتنا على حل جميع المسائل المذكورة في المنشور الرباعي، سنعرض مثالا أو اثنين بسيطين كتطبيق للقانون.

مثال 1 :

إذا كانت أبعاد الكتلة الرباعية هي 10 سم، 7 سم، 4 سم، بالترتيب، فما هو حجم تلك الكتلة؟

الحل :

• أول خطوة في الحل هي كتابة القانون المستخدم لحساب حجم المنشور الرباعي كالتالي: الحجم = الطول × العرض × الارتفاع .
• وبما أن الطول = 10 سم والعرض = 7 سم والارتفاع = 4 سم .
• وباستبدال تلك المعطيات في القانون، نحصل على حجم المنشور الرباعي = 10 × 7 × 4 = 280 سم3

مثال 2 :

حجم المنشور المكعب هو 5 سم في الطول و 3 سم في العرض و 2 سم في الارتفاع

الحل :

• نقوم بكتابة صياغة القانون المستخدم في حساب حجم المنشور الرباعي وهو: الحجم = الطول × العرض × الارتفاع .
• ومن المعطيات نرى أن أبعاده الثلاثة هما: طوله يساوي 5 سم، وعرضه يساوي 3 سم، وارتفاعه يساوي 2 سم .
• نقوم الآن بتعويض القانون لحساب حجم المنشور الرباعي = 5 × 3 × 2 = 30 سم3

حجم المنشور الرباعي هو 5 في الطول و 4 في العرض و 10 في الارتفاع

• في هذه الحالة يكون حجم المنشور هو:   5 × 4 × 10 = 200 سم^{3 .}

مساحة سطح المنشور الرباعي

مساحة سطح المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة

• لحساب مساحة سطح الشكل الرباعي، يتم جمع مساحة القاعدتين مع المساحة الجانبية للشكل (وهي مساحة الأوجه الأربعة الجانبية).
• إذا كان الشكل الرباعي لديه قاعدة مربعة الشكل، فإن مساحته السطحية يتم حسابها عن طريق حساب مساحة الوجوه الجانبية باستخدام قاعدة المستطيل وهي الطول ضرب العرض.
• في المستطيل، طول القاعدة يعتبر العرض، أما طول المستطيل فهو الارتفاع.
• وبالتالي، فإن المساحة الجانبية للجسم الرباعي المنتظم الذي له قاعدة مربعة هي: ارتفاع الجسم × طول ضلع القاعدة × 4 (وهو عدد الوجوه للجسم).
• هناك طريقة أخرى لحساب المساحة الجانبية للمنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة، وهي ضرب ارتفاعه في محيط القاعدة، أي طول ضلع القاعدة مضروبا في 4.
• وبناء على ذلك، فإن المساحة الإجمالية للمنشور الرباعي الذي يحتوي على قاعدة مربعة هي: محيط القاعدة المربعة × الارتفاع + 2 × مساحة القاعدة المربعة.
• أما بالنسبة لقانون المساحة الكلية للمكعب ذو الوجوه والقاعدة المربعة، فهو: 6 × طول ضلع المكعب مربع.
• مثال: إذا كان هناك مستطيل ذو قاعدة مربعة بارتفاع 9 سم وضلع قاعدته 5 سم، فما هي مساحته الإجمالية؟
• الحل: يتم حساب محيط القاعدة بضرب طول ضلعها في 4، أي 5 × 4 = 20 سم، ثم يتم حساب مساحتها بضرب طول الضلع في نفسه، أي 5 × 5 = 25 سم2 .
• وبالتالي يتم حساب مساحة المنشور الرباعي بتطبيق المعادلة التالية: محيط القاعدة ضربها في الارتفاع ثم أضف ضعف مساحة القاعدة، لتكون المعادلة كالتالي: 20 × 9 + 2 × 25x.
• لتصبح مساحة المنشور= 230 سم².

مساحة سطح المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة

• إذا كان النشر رباعي القاعدة مستطيلا، يتم حساب مساحته الكلية بالمعادلة التالية: (الطول × العرض) 2x + (الطول × الارتفاع) 2x + (العرض × الارتفاع) 2x.
• مثال: فإذا كان لدينا متوازي المستطيلات طوله 15 سم وعرضه 9 وارتفاعه 8، فما هي مساحته؟
• الحل: أولا، يجب حساب مساحة القاعدة العلوية وهي طول القاعدة مضروبا في عرضها، أي 15 × 9 = 135 سم2
• بتطبيق الصيغة السابقة ، يمكننا حساب المساحة الكلية عن طريق الخطوات التالية: (15 9 ×) 2 × (15 × 8) + 2 × (8 × 9) + 2 × = 654.
• وبطرح مساحة القاعدة العلوية من الناتج: 654- 135= 519 سم².
• لتكون مساحة سطح المنشور هي: 519 سم².

حجم المنشور الثلاثي

هناك أنواع مختلفة من المنشور الثلاثي، ومنها المنشور الثلاثي القائم والمنشور الثلاثي الطبيعي، وفي حالة المنشور الثلاثي، فإن القاعدة العامة لحساب مساحة أي منشور ثلاثي هي أنه يحتوي على 3 أوجه مستطيلة ووجهين مثلثين فقط، ولذلك من المهم حساب مساحة المستطيل والمثلث وضرب تلك المساحات بعدد الأوجه، ثم جمع مساحات جميع الأسطح معا، وتحتوي المعادلات الخاصة بحساب مساحة المنشور الثلاثي القائم على الخطوات التالية.

• مساحة المستطيل = الطول× العرض
• مساحة المثلث = 0.5 × قاعدة × الارتفاع
• إذا كان المثلث متساوي الأضلاع، فنضرب مساحة المستطيل الواحد في 3 أوجه، لأن جميع مساحات المستطيلات الثلاثة متساوية في هذه الحالة.
• إذا كان المثلث متساوي الساقين أو لديه أطوال أضلاع مختلفة، نحسب مساحة كل مستطيل على حدة ثم نجمعهما.

القاعدة العامة لحساب مساحة المنشور الثلاثي القائم هي: الارتفاع (مجموع أطوال أضلاع المثلث)+ 2× مساحة المثلث، ويمكن عرض تنفيذ هذه القاعدة بمثال بسيط، وهو كما يلي.

• ما هو حجم المنشور الثلاثي قائم الزاوية، والذي يصل ارتفاعه إلى 10 سنتيمتر، ويبلغ طول قاعدته 7 سنتيمتر ويبلغ ارتفاع المثلث 5 سنتيمتر؟
  • أولاً نقوم بإيجاد مساحة المثلث، وذلك عن طريق القانون الخاصة بمساحة المثلث، وهي كما يلي: 0.5× طول القاعدة × الارتفاع.
  • مساحة المثلث = 0.5× 5×7= 17.5 سم مربع.
  • ثم نقوم بتحديد ارتفاع المنشور بالكامل، وليس ارتفاع قاعدة المثلث، والذي تم تحديده في السؤال بطول 10 سنتيمتر.
  • ثم نقوم بضرب مساحة القاعدة أو المثلث في طول الارتفاع، وذلك عن طريق استخدام حجم صيغة المنشور الثلاثي.
  • يكون حجم المنشور الثلاثي القائم مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع.
  • = 10×17.5= 175 سنتيمتر مكعب.

أسئلة شائعة