بحث عن المصفوفات

هي مجموعة من الأشكال المستطيلة تحتوي على أرقام أو رموز أو عبارات، تسمى أيضا إدخالات أو عناصر، وتكون منتظمة ومرتبة في صفوف وأعمدة، تنقسم المصفوفة إلى قسمين، الأول هو المصفوفة الحقيقية والثاني هو المصفوفة المعقدة.

عناصر المصفوفة هي الأرقام الحقيقية والأعداد المركبة، وتنقسم المصفوفة إلى خطوط أفقية وأخرى عمودية، كما تمتلك تاريخا طويلا في حل المعادلات الخطية، وكانت تسمى في السابق صفائف منذ ظهورها عام 1800 م، وانتشرت بعدها في دول الصين وأوروبا وجميع أنحاء العالم بفضل العلماء .

تم ابتكار مصطلح المصفوفة لأول مرة في عام 1848 من قبل جي. جي. سيلفستر كاسم لمجموعة منتظمة ومرتبة من الأرقام. في عام 1855، قدم أرثر كايلي المصفوفة كتمثيل لعناصر خطية، وهذه الفترة اعتبرت بداية الجبر الخطي ونظرية المصفوفات ودراسة فضاء المتجه على المجال المحدد كفرع من الجبر الخطي. ويفيد طبيعيا في نظرية التشفير واستخدام المصفوفات في المجال المحدد في نظرية التشفير. والوحدة هي تعميم لفضاء المتجه ويمكن اعتباره فضاء المتجه على حلقة، وهذا يؤدي إلى دراسة المصفوفات حول الحلقة ونظرية المصفوفات في هذه المنطقة ليست فرعا من الجبر الخطي. تفاصيل إضافية متاحة في الموسوعة .

بحث عن المصفوفات بالعناصر

تعد المصفوفات حاليا واحدة من استخدامات البرمجة الحاسوبية والذكاء الاصطناعي، حيث تمكن الآلات والحواسيب من اتخاذ قرارات تلقائية، وسنتحدث في هذا البحث عن بعض العناصر المصفوفات للحديث عنها

حجم المصفوفة

حجم المصفوفة يعتمد على عدد الصفوف والأعمدة المتضمنة فيها، وعادة ما يرمز للمصفوفة بالرمز (م ن)، وأعمدتها بالرمز (و م × ن) أو (م ن- by)، ويتم تمثيل أبعادها بالرمز (م و ن)، والمصفوفة التي تحتوي على صف واحد فقط تسمى ناقلة توالي، والتي تحتوي على عمود واحد تسمى ناقلة عود، والمصفوفة التي تحتوي على نفس عدد الصفوف والأعمدة تسمى مربعة، والمصفوفات التي ليس لها عدد محدد من الصفوف والأعمدة تسمى لانهائية، والمصفوفة التي لا تحتوي على صفوف وأعمدة تسمى فارغة.

حساب المصفوفة

من الممكن أن تقوم بحسابات المصفوفات بأساليب وتقنيات مختلفة في العديد من الحالات، حيث تتمتع بالقدرة على حل العديد من المشكلات باستخدام الخوارزميات المباشرة أو النهج المتكرر، على سبيل المثال، يمكننا استخدام المتجهات الذاتية للمصفوفات المربعة للعثور على تسلسل للنقالات، وذلك عندما تقترب من المتجه الذاتي وتتجه قيم الصفوف فيها نحو اللانهاية. لذا، من المهم أن تحدد الخوارزمية المناسبة لحل المشكلة المحددة، وتحدد فعالية ودقة كل الخوارزميات المعروضة والمتاحة في دراسة هذه المسائل العددية للجبر الخطي، وهذا مثال على العديد من الحالات العددية الأخرى التي تحتوي على جوانب رئيسية اثنتان وهما تعقيد الخوارزميات والاستقرار العددي. لتحديد تعقيد الخوارزمية، يجب تحديد الحدود العليا أو تقدير عدد العمليات الأساسية مثل الإضافة والضرب.

التطبيقات على المصفوفة

يعد وجود العديد من التطبيقات للمصفوفات، سواء في علم الرياضيات أو غيرها من العلوم الأخرى، فائدة واستفادة منها، حيث يمكن تمثيل مجموعة من الأرقام في المصفوفة بشكل مضغوط، ويتم ذلك عن طريق الاعتماد على مجموعة من البدائل لأي عملية تتطلب حسابات معقدة، ولهذا الكثير من النظريات المهمة، مثل الاحتمالات والإحصاء (حيث يطبق هذه النظرية على المصفوفات العشوائية) والمربعة (عن طريق إدخالات غير سلبية) والتماثلات والتحويلات، وتلعب هذه النظرية دورا أساسيا ورئيسيا في الفيزياء الحديثة، خاصة في مجال الجسيمات والرسم البياني والتحليل والهندسة والتركيبات الخطية والإلكترونيات والبصريات الهندسية.

خصائص المصفوفات

يتم تحديد كل ما يتواجد في المصفوفة بعناصر المصفوفة، سواء كانت تلك العناصر أرقاما أو رموزا أو حتى مقادير جبرية، ومن أبرز خصائص المصفوفات كل ما يلي:

• يتم التعبير عن العناصر الموجودة داخل المصفوفات عن طريق كتابة الحرف الذي يمثل اسم المصفوفة، وكتابة رقم الصف والعمود لذلك العنصر بالترتيب تحت ذلك الحرف؛ أي أن اسم المصفوفة يأتي بعده صف وعمود
• إذا كان عدد صفوف وأعمدة إحدى المصفوفات متساويا لعدد صفوف وأعمدة المصفوفة الأخرى، فإن هاتين المصفوفتين تعتبران متساويتين في الحجم
• يمكن تسمية المصفوفة بأي حرف من حروف اللغة العربية، أما في اللغة الإنجليزية فتعبر عنها باستخدام أحد الأحرف الكبيرة

ويتم توضيح كل تلك الخصائص الخاصة بالمصفوفات من المثال التالي: [+6+4+24] [+1-9+8] ونلاحظ التالي:

• ب3،1: العنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود الثالث يساوي 24
• ب1،1: وتعني العنصر الذي يقع في الصف الأول، والعمود الأول، ويساوي 6
• ب3،2: يعني العنصر الذي يقع في الصف الثاني والعمود الثالث ويكون قيمته 8

أنواع المصفوفات

توجد الكثير من أنواع المصفوفات، والتي من بينها كل مما لي:

• مصفوفة الوحدة Identity Matrix
• المصفوفة المربعة Square Matrix
• المصفوفة المتعامدة Orthogonal Matrix
• المصفوفة المفردة Singular Matrix
• المصفوفة المثلثية العليا Upper Triangular Matrix
• المصفوفة القطرية Diagonal Matrix
• المصفوفة المثلثية السفلى Lower Triangular Matrix
• المصفوفة المتساوية Equal Matrix
• المصفوفة القياسية Scalar Matrix
• المصفوفة الصفرية Null Matrix
• مصفوفة العمود الواحد Column Vector
• مصفوفة الصف الواحد Row Vector
• المصفوفة الهرميتية Hermitian Matrix
• المصفوفة المستطيلة Rectangular Matrix
• المصفوفة المتماثلة Symmetric Matrix
• المصفوفة غير مفردة Non-Singular Matrix

محدد المصفوفة

يتم استخدام محدد المصفوفة في العديد من التطبيقات، بما في ذلك حل نظام المعادلات الخطية وايجاد معكوس المصفوفة والعديد من التطبيقات الأخرى في مجال الرياضيات، ويتميز محدد المصفوفة بالعديد من الخصائص، بما في ذلك ما يلي:

• يمكن العثور عليه فقط إذا كانت المصفوفة مربعة
• يمكن إيجاد معكوس المصفوفة فقط إذا كان محددها ليس صفرا
• يستخدم للإشارة إلى محدد المصفوفة نفسه الرمز المستخدم للإشارة إلى القيمة المطلقة؛ على سبيل المثال، يرمز لمحدد المصفوفة أ بالرمز | أ |
• أنه عدد حقيقي

يمكن العثور على محدد المصفوفة عن طريق استخدام القانون التالي: محدد المصفوفة يتم تعريفه بأنه ضرب قيمة أ بمجموع الفروق بين ج تضرب في ت وك تضرب في ي ثم يجمع مع ب تضرب في حاصل ضرب د تضرب في ز تضرب في ي، ويستند هذا القانون على ضرورة ضرب كل عنصر في الصف الأول من العناصر الموجودة في الصف الذي تم اختياره، ويتكون الصف الأول من العناصر أ و ب و ج بالترتيب في المصفوفة ثنائية الأبعاد، ويمكن الحصول على هذه المصفوفة بعد استثناء العمود والصف الذي يحتوي على العنصر المختار من الصف الأول.

أسئلة شائعة